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une longueur supérieure a ; elle sera certainement, sur toute

bc .

longueur inférieure à ti — > plus petite que tous les chemins infiniment voisins réunissant ses extrémités.

631. La méthode suivie par M. Bonnet permet de trouver très simplement la variation de longueur d'un arc de courbe.

Soit en effet MM^ une courbe qui se déplace et se déforme suivant une loi quelconque (Jig- 48); considérons-la dans deux de ses

Fig. 48.

positions infiniment voisines MM', PF. Élevons les géodésiques perpendiculaires à MM' et employons le système de coordonnées formé par ces lignes géodésiques et les courbes parallèles à MM'. On aura, pour l'élément linéaire, l'expression

La variable u est la longueur portée sur les lignes géodésiques

LE PLUS COURT CHEMIN ENTRE DEUX POINTS D UNE SURFACE. Io5

à partir de MM', prise avec un signe déterminé suivant qu'elle sera portée d'un côté ou de l'autre de MM'. Quant à la variable v, nous pouvons supposer qu'elle est égale à l'arc de la courbe MM' compris entre une origine fixe et le pied de la géodésique (c^). On aura

encore

G = I, pour u= 0,

mais la dérivée -r-- ne sera plus nulle pour la même valeur de u.

Il résulte des formules du Livre V [II, p. 385 à 887] que la

valeur de — ~ pour u = o est la courbure géodésique de MM',

comptée comme positive si le centre de courbure géodésique est du côté de MM' qui correspond aux valeurs positives de u.

Cela posé, soient R et R' les points où les géodésiques normales en M et M' viennent couper PP'. On aura