MM' = PP'— MM'= PR -1- P'R'-+- RR'- MM

ou, en considérant les triangles infiniment petits RPM, R'P'M',

(16) 8 MM'= - PMcosPMM^- P'M' cosP^M^ -+- RR'- MM'.

En tous les points de RR', u est une fonction infiniment petite de i>. On aura donc

ou, en développant G suivant les puissances de u et négligeant les infiniment petits du second ordre,

OU enfin

(.7) RR-=MM'^jr"'„(g)^*.

Si nous portons cette valeur de RR' dans la formule (16) et si nous remplaçons ( — ) par son expression —- au moyen de la courbure géodésique de MM', nous aurons

(18) 8MM'=:- PMcosPMM^— P'M'cos^^M^— f u — ,

formule très intéressante et très utile, et qui ne contient que des éléments dont la définition géométrique et le signe ne laissent place à aucune difficulté.

632. Elle va nous permettre d'indiquer une série de conditions auxquelles doit satisfaire le plus court chemin entre deux points d'une surface limitée d'une manière quelconque.

1° Les portions qui seront à l'intérieur de la surface devront être formées de lignes géodésiques.

Cette propriété résulte immédiatement de ce qui a été démontré (n°^516 et521). On peut la déduire aussi de la formule précédente. Si le rayon de courbure géodésique po- n'est pas infini, il suffira en effet dMlever sur l'arc MM' des perpendiculaires infiniment petites de même signe que p^., c'est-à-dire dirigées du côté du centre de courbure géodésique, et s'annulant en outre pour les deux points M et M'. On aura ainsi remplacé MM' par un chemin infiniment voisin et plus court, puisque l'expression de 8 MM' donnée par la formule précédente sera essentiellement négative.

Fig. 49.

2"* Les portions de chemin qui font partie de la limite de Ja surface, si elles ne sont pas des géodésiques, devront satisfaire à la condition suivante : imaginons qu'en chaque point delà limite on mène celle des tangentes de la surface qui est normale à îa courbe limite-, il faudra que le centre de courbure géodésique de la courbe soit placé sur la portion de cette tangente qui est dirigée vers l'extérieur de la surface. En effet, si cette condition n'était pas remplie, on diminuerait la longueur du chemin en remplaçant un segment de cette courbe limite par une courbe infiniment voisine tracée sur la surface et réunissant les extrémités du segment.

3"* Si deux portions du chemin, tracées sur une même nappe, vieniient se réunir (^fig. 49) en un certain point de l'intérieur, elles