LE PLUS COURT CHEMIN ENTRE DEUX POINTS D UNE SURFACE. IO

doivent se raccorder tangentiellement et de manière que l'une soit le prolongement de l'autre. Car, si ces portions BA, AG se rencontraient sous un angle diflerent de zéro, on abrégerait le chemin total en prenant B', G' infiniment voisins de A et substituant la route directe B'G' au chemin B'A+AG'.

Il résulte de là que la portion du chemin comprise à l'inlérieur de la surface doit se composer d'une seule ligne géodésique qui se continue sans interruption jusqu'à ce qu'on rencontre une limite ou une ligne singulière de la surface.

4° Si deux portions AB, BG du chemin le plus court ABC viennent se rencontrer en un point B {fig. 5o) appartenant à la limite

DBK, il faudra que l'angle ABG soit inférieur ou égal à deux droits pour la même raison que précédeinment.

5^ Enfin, si la surface a des nappes différentes se cou|)ant ou se raccordant suivant certaines lignes^ le chemin le plus court ne pourra se briser et passer d'une nappe à l'autre qu'en faisant de part et d'autre des angles égaux avec la ligne de séparation.

Nous allons indiquer quelques exemples simples propres à faciliter l'application de ces principes.

Soit d'abord une surface plane {fig. 5i) à laquelle on aurait enlevél'aire comprise à l'intérieur du cercle O, et proposons-nous de trouver le plus court chemin entre deux points A et B, choisis de telle .manière que la droite AB rencontre la circonférence. Il résulte des propositions précédentes que le plus court chemin se composera de l'une des tangentes menées de A et de B à la circonférence et d'une portion de cette circonférence. On n'aura donc à choisir qu'entre les deux chemins AEFB et ADGB. Le plus

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