Nous avons ainsi une première définition dans laquelle

on n'a pas à sortir de la surface. En voici une autre de même nature.

Étant donnée une courbe quelconque MH {fig. 56), menons la géodésique MM' tangente en M; pour déterminer. les points de la surface, nous prendrons des abscisses MQ — v sur cette ligne géodésique et nous élèverons en Q des perpendiculaires géodé-

siques PQ = ?<• , *

Fis. 56.

L'élément linéaire aura pour expression

et l'on aura pour w — o

ou

Le développement de G suivant les puissances de u sera donc de la forme

h étant une fonction de w.

L'équation de la courbe MH permettra de développer u en série suivant les puissances de v. On aura, pour les points de cette courbe voisins de M,

u — kv^- -i- ^' i ^-+-

Calculons la courbure géodésique de la courbe en M. On a ici <Vç c)C, , du

En se b.ornant aux premiers termes des développements, on trouve

L^ COURBURE GEODBSIQU^. Il;

et, par conséquent,

Pff

Remplaçons k par sa valeur dans le développement de u] nous trouverons que Ton a, pour tous les points de la courbe MH qui sont dans le voisinage du point M,

c est-à-dire