MM'-PP
Si Ton emploie l'expression de la courbure géodésique donnée au n° 63o, on trouvera
MÂf.MP
i\IM'— PP' =
p^ désignant le rayon de courbure de la courbe (cp) au point M, rayon qui sera considéré comme positif seulement s'il est porté dans le sens MP. D'ailleurs, comme MM'.MP représente l'aire ch comprise à l'intérieur du contour MM'P'P, on peut écrire la relation
Jf ds cos 0 = / / î (A) J^ (
LES CERCLES GÉODÉSIQUES. l43
qui donne une nouvelle expression de l'intégrale curviligne étendue au contour (A).
Si nous l'égalons à l'expression déjà trouvée, nous obtiendrons la relation
où les deux intégrales doubles sont étendues l'une et l'autre à la même aire. Comme cette aire est d'ailleurs limitée par un contour quelconque, il faut nécessairement que les éléments des deux intégrales soient égaux. On aura donc, en remplaçant d'à- par H du dv^ l'équation
qui fera connaître la courbure géodésique des courbes (cp). Cette formule élégante est due à M. O. Bonnet, qui l'a démontrée par d'autres considérations (^).
La formule (5), qui résulte delà méthode précédente, peut être considérée comme une généralisation du théorème des projections. Supposons, en effet, que les courbes (cp) deviennent des droites parallèles dans le plan. On aura, pour tous les points de l'aire, p^= 00 et, par suite,
Jf ds cos6 = o, (A)
ce qui constitue l'expression analytique du théorème des projections.
•. On peut faire reposer sur l'équation (6) la théorie des courbes dont la courbure géodésique est une fonction quelconque donnée à l'avance, F(w, r), des coordonnées u ei v du point de la courbe. Ces courbes sont définies par l'équation différentielle
(•) 0. Bonnet, Mémoire xur l'emploi d'un nouveau système de variables dans l'étude des propriétés des surfaces courbes {Journal de Liouvilte, ■2' série, t. V, p. 164 ; 1860).
l44 LIVRE VI. — CHAPITRE Vif.
du second ordre
(7) F{u, i>)ds =z,doj -T- r du -^- ri di>,
que l'on déduit immédiatement de l'expression connue du rayon de courbure géodésique. Elles comprennent comme cas particulier les courbes dont la courbure géodésique est constante, et elles donnent la solution d'un intéressant problème de Calcul des variations. Il nous suffira, pour le montrer, de suivre la méthode que nous avons déjà employée (Livre V, Chap. IV) dans l'étude des lignes géodésiques. Pour abréger, nous désignerons sous le nom de courbes (F) toutes celles que nous venons de définir et qui satisfont à l'équation précédente ou, si l'on veut, à la suivante
Ps-
Soit
çp(a, ç) = const.
l'équation d'une famille quelconque de courbes (F). En adoptant l'expression (6) de la courbure géodésique, nous voyons que o devra satisfaire identiquement à l'équation aux dérivées partielles suivante
Or on peut toujours, et d'une infinité de manières, mettre le produit HF sous la forme (*)
HK(„..)=S-f.
Si l'on substitue cette expression dans l'équation (9) et si l'on désigne, pour abréger, par p' et g' les dérivées de <p, on mettra l'équation à intégrer sous la forme
('■) fj^-TP--*-^} + irA^^-^-^)^o.
(') Par exemple, on donnera M arbitrairement et l'on déterminera N par une quadrature.
LES CERCLES GÉOOÉSIQUES. l45
En introduisant une fonction auxiliaire 9 dont nous désignerons les dérivées par/? et q, on peut évidemment remplacer Téquation précédente par le système suivant :
(lît) H -^-yl =— N — ÛT, H \ ,'■ ^ M +/?.
^ ' dp ^ oq ^ .
Or ces deux équations ne contiennent (p que dans le rapport —, .
On pourra donc éliminer ce rapport et l'on sera ainsi conduit à l'équation du premier ordre pour 0
E(N4-y)^-2F(N + y)(MH-/>)H-G(M-T-/>r- ^^^' EG — F2 ""''
qui se réduit à celle que nous avons donnée pour les lignes géodésiques quand on y fait M = N = o.
Il suffît de se rappeler les résultats établis au Livre V (Chap. V) et l'on reconnaîtra immédiatement que l'équation précédente exprime la condition nécessaire et suffisante pour que la différence
^52 — ( <^6 H- M du -\- .\ dvY,
considérée comme une fonction homogène de du et de dv^ soit un
carré parfait
(oLdu-^^dvf\,
il résulte d'ailleurs des formules (12) que ce carré aura pour
expression
Ao
Nous sommes donc conduits à la proposition suivante :
Pour obtenir toutes les familles de courbes (F), il suffira de déterminer une solution quelconque de V équation aux dérivées partielles {\Z). Cette solution ô étant trouvée, le carré de Vêlement linéaire pourra se mettre sous la forme
(U) û?A-2 = (û?e -+- M û?a 4- N dvy--^ (a c^ « -h ? dvy-,
et V équation différentielle
adu -\-^ dv — o
définira Vune des familles cherchées.
D. — in. 10
l46 LIVRE VI. — CHAPITRE VI .
En d'autres termes, le problème proposé est équivalent au suivant :
Mettre Vêlement linéaire de la surface sous la forme
(r.5) ds^ = (rfe -+- M d?tt -h N dv^ + a* d^\.
Les courbes 8i = const. seront celles qu'il s'agissait de déterminer.
650. Cette proposition est évidemment analogue à celle que nous avons donnée au n° 531, relativement aux lignes géodésiques. Elle donne lieu aussi à un grand nombre de conséquences, toutes semblables à celles que nous avons développées plus haut (Livre V, Chap. V). Nous allons les indiquer rapidement, sans apporter à cette étude autant de soin et de rigueur que dans le cas plus important des lignes géodésiques.
On peut démontrer d'abord, par l'application pure et simple de la méthode exposée au n° 532, que, si l'on a obtenu une solution ô de l'équation (i3) contenant une constante arbitraire a, on pourra prendre, dans la formule (i5),
et, par conséquent, l'équation générale des courbes (F) sera
Nous reviendrons plus loin (n** 651) sur ce sujet; et nous allons maintenant montrer comment on généralise les propriétés de minimum relatives aux lignes géodésiques.
Soit {¥') l'une des courbes (F) et soient A et B deux de ses points, suffisamment voisins. Si l'on considère toutes les courbes (K.) joignant ces deux points, pour lesquelles Vintésrrale
iUdu-h^dv)
a même valeur que pour la courbe (F'), celle de ces courbes dont rare compris entre A et B sera le plus petit possible sera précisément la courbe (F')
LES CERCLES GÉODÉSIQUES. i47
Imaginons, en effet, que l'on considère la famille formée par toutes les courbes (F) qui passent en A et la fonction correspondante 0 dont les dérivées sont liées à celles de cp par les équations (12). On pourra mettre l'élément linéaire de la surface sous la forme
(17). ds^ = {d^ -^Mdu-hNdvy-h<T^d(f^.
Par des raisonnements analogues à ceux du n° 518, on montrera que l'on peut constituer autour de A une région telle que, par le point À et par un point B de cette région, il passe une seule courbe (F) située tout entière dans la région. On obtiendra cette région, par exemple, en portant sur toutes les courbes (F) une longueur égale ou inférieure à une limite /. Ce point étant admis, on peut répéter rapidement la démonstration du n°521.
Pour une courbe quelconque (K) joignant A à un point B de la région, l'arc s est donné par la formule
S = /(û?e -h M du -+- N fi?(^)2 4- a2 d(D^.
On a donc, si la courbe (K) est distincte de (F'),
s> {d^-\-Mdu-h^dv) ou
(18) 5>6b — eA4- r (Mdu-i-îidv);
et, si la courbe (R) se confond avec (P),
î'=Y* (rfe-i-Mrfa-hNrft') = 63— BaH- r (Mdu^Ndv).
Mais, par hypothèse, nous ne considérons que les courbes (K) pour lesquelles l'intégrale
(20) f iM.du-+-Ndv)
a la même valeur que pour la courbe (F'). La comparaison de
l48 LIVRE VI. — CHAPITRE VII.
l'inégalité (18) el de l'équation fig) nous donne donc
et la proposition que nous avions en vue est ainsi démontrée.
On peut déduire des formules précédentes une autre conséquence. N'assujettissons plus l'intégrale (20) à avoir une valeur déterminée, mais considérons, parmi les courbes (K) réunissant les points A et B, celles qui ont la même longueur que (F'). On aura alors
et la comparaison des formules (18) et (19) montre alors que rin-
tégrale
du -h xN dv)
sera plus grande pour la courbe {¥') que pour toute autre courbe de même longueur réunissant les points A et B.
On peut donner une forme différente à ces résultats. Menons par les points A et B une courbe fixe quelconque ADB {fig- 67).
L'intégrale (20), relative à toute autre courbe AHB unissant les mêmes points, ne diffère que par une constante de celle qui est relative au contour entier AHBDA. Or l'intégrale curviligne relative à ce contour fermé peut être remplacée par l'intégrale double
étendue à toute Taire que limite le contour. On peut donc transformer comme il suit les propositions précédentes :
Soient A et ^ deux points suffisamment voisins, pris sur une courbe (F), et ADB une courbe fixe, mais quelconque, unissant les deux points. La courbe (F) est la plus courte parmi toutes
