LES CERCLES GÉODÉSIQUES
celles qui unissent les mêmes points et donnent à V intégrale ù la valeur qu^ elle prend dans le cas de la courbe (F). On peul dire aussi que^ parmi toutes les courbes de même longueur unissant les deux points, la courbe (F) est celle pour laquelle V intégrale û est maximum,
651 . Nous sommes maintenant en mesure de résoudre les deux questions suivantes :
Étant donnée une courbe quelconque ADB, trouver, parmi les courbes AHB joignant ses extrémités et pour lesquelles une certaine intégrale double
(21) Û= C r(^^—^\dudv^ f ChF(u v)dudv,
étendue à Vaire ADBHA, a une valeur donnée y celle qui est la plus courte;
ou encore
Trouver parmi toutes les courbes de mêm,e longueur unissant les points h et B celle pour laquelle V intégrale double précédente est maximum.
On cherchera toutes les courbes dont le rayon de courbure géodésique est déterminé par la formule
où k désigne une constante arbitraire. On construira celles de ces courbes qui passent par les points A et B; et l'on déterminera la constante k par la condition que l'intégrale double ù dans la première question, ou la longueur de l'arc dans la seconde, ait la valeur donnée a priori. Les courbes obtenues donneront la solution cherchée. Gela résulte presque immédiatement des propositions établies. La règle précédente est d'ailleurs celle à laquelle conduit l'application régulière des méthodes du Calcul des variations. Le lecteur rétablira aisément le calcul que nous omettons ici. Nous allons indiquer seulement comment on pourra déterminer les courbes et exprimer les conditions indiquées.
l5o LIVRE VI. — CHAPITRE VU.
On écrira d'abord l'équation aux dérivées partielles
(23) G(/?-hA-M)2— 2F(/>-+-A:M)(^H-A:N)-hE(5r-f-A:N)«=EG — F»,
que l'on obtient en remplaçant M, N par ÂrM, A-N dans Péquation (ï3).
Supposons que l'on en connaisse une solution 9 contenant la constante arbitraire a. On pourra mettre l'élément linéaire de la surface sous la forme
(24) rf5«=[é^0 + ^(Mrfw-hNû?t')]*-h(T«rf6f.
Suivant la méthode du n** 532, difFérentions en faisant varier seulement les constantes a et k. Nous aurons
{d^ -h k{m du-^N dç)]\d^ha 4- (d^ -+-. M du -h fi dA U]
La différentielle û^O^, considérée Comme fonction de du et de dç^ doit diviser la première ligne. Gomme elle ne peut diviser le premier facteur, elle doit nécessairement diviser le second, et cela, quels que soient 8a, hk. En répétant le raisonnement du numéro cité, on pourra prendre
da
et il restera l'équation nouvelle
(25) rf^ HMrfM-+-N^p= Xrf^,
dk da
où \ désigne un facteur de proportionnalité. On en déduit la conséquence suivante.
Si l'on se déplace sur une des courbes intégrales (ôi = const.)
entre deux points A et B, j- demeurera constante. On aura donc
d^. -h M <iM 4- N <ip =i 0
dk
et, par suite,
L'intégrale simple qui figure dans le premier membre est égale
LES CERCLES GÉODÉSIQUES. l5l
à Û — /, / étant une constante connue. On a donc
On aura Je même, s désignant l'arc AB,
s= f [d^-+- A-(M du -h N dç)] = f (d^ — k d^\ ou encore
Ces expressions de 5 et de Q permettront d'écrire simplement les équations de condition qui se présentent datis les deux problèmes proposés plus haut.
652. L'application la plus intéressante des propositions générales précédentes se rapporte au cas où l'intégrale double Q est celle qui donne l'aire d'une portion de la surface. On doit alors déterminer M^et N par l'équation
(.8) H=v/ËG^rF=^-f,
du dv
et la formule (22) nous donne
Les courbes correspondantes ont leur courbure géodésique constante. Nous les nommerons, pour abréger, des cercles géodésiques (♦). Des résultats qui précèdent nous déduisons les corollaires suivants :
Parmi toutes les courbes de même longueur unissant deux
(') Quelques auteurs, au contraire, appellent cercles géodésiques les courbes que l'on obtient en portant des longueurs constantes sur toutes les géodésiques passant par un point. Gomme le cercle, ces courbes sont toujours fermées et elles coupent à angle droit tous leurs rayons géodésiques; mais elles n'ont pas, en général, leur courbure géodésique constante. Les lignes à courbure géodésique constante, auxquelles nous réservons ici le nom de cercles géodésiques, ne sont fermées que sur les surfaces à courbure constante. Le lecteur l'établira en cherchant l'équation approchée d'un cercle géodésique de courbure infiniment petite.
i52 Livivr: vf. — chapitre vii.
points A el B, celle qui, jointe à une courbe fixe ADB {fi g- 67), limite la plus grande étendue de la surface est un cercle géodé si que.
Parmi toutes les courbes unissant les mêmes points et limitant une étendue donnée dé la surface, la plus courre est un cercle géodésique.
653. l^oLir donner au moins une application de la lliéorie générale qui piV'cède, nous allons monlrei que l'on peut déterminer les cercles géodésiques de toutes les surfaces qui sont applicables sur les surfaces de révolution (').
On a alors, pour l'élément linéaire, l'expression
et l'équation (10) devient
' ^ ^ Ou ÔV
On peut donc prendre
iM =r ,), N = Tcp ( II) du = 'l (u ).
L'équation à intégrer (v.o) prend la forriie
(3o, ,..^L£±Mill]: = ,.
Posons ici encore, comme au n*^ 579,
0 = av -T- ¥ {u)\ il viendra
ce qui donnera
(') Voii\ ù ce sujet, les deux articles suivants :
MiNDiNG, Zur Théorie der Curven hûrzesten Umrings, bel gegebenem Fldckeninhalt, auf krummen Flacheii {Journal de Crelle, t. LXXXVI, p. '279; 1878V ^
Darboux, Sur les cercles géodésiques {Comptes rendus, t. XCVI, p-^4; iSS.'O- S
LL'S CiiRCLLîS G K 0 D ES I Q U K S. l53
Si Ton différenlie par rapport à <?, on aura l'cqiialion générale (les cercles géodésiques
du
Dans le cas des surfaces à courbure constante et éi^ale à Tunilé,
on peul prendre
çp( z/) = sin ?/,
et l'on trouve, en ellectuant la quadrature,
y/f H- /<:2 — «2 sin((j — i'„) s'mu -^- a cosw = k.
C'est l'équation que Ton obtient immédiatement si l'on suppose que là' surface soit une sphère de rayon i .
654. Nous terminerons ce Gliapilre en indiquant quelques propositions très simples relatives aux cercles géodésiques et aux systèmes isothermes.
Considérons d'une manière générale une surface rapportée à un sj'stème de coordonnées orthogonales, et soit
la formule qui donne l'élément linéaire. Si l'on désigne respectivement par p„ et p^, les rayons de courbure géodésique des arcs A du et Cdv^ on aura
Supposons d'abord que le système soit isotherme. On pourra prendre
et il viendra
^ ^^ Pp X2 au ' p„ ^ X2 ov '
d'où l'on déduit
(35) APitZ + \?±l = o.
du dv
En divisant par "k et posant
dsu =1 du, dsv = X dv,
I I ÔX
p, ~ AC du '
pu AC dv
l54 LIVRE VI. — CHAPITRE VII.
on peut donner à cette équation la forme suivante
\pu) ^ XpJ
qui est entièrement géométrique et qui exprime que les dérivées des courbures géodésiques des deux courbes coordonnées suiyant la tangente sont égales au signe près.
Cette propriété, il est aisé de le reconnaître, caractérise les systèmes orthogonaux et isothermes; car, si l'on remplace dans l'équation précédente dsu par kdu^ ds^ par Cdv^ pu et p,, par leurs expressions (33), il vient
Ipgp =o;
dudv ^C d'où l'on déduit
équation caractéristique des systèmes isothermes.
L'équation (36), rapprochée de la remarque précédente, donne naissance aux deux conséquences suivantes :
1° Si une famille de courbes isothermes est composée de cercles géodésiques, il en est de même de la famille' isotherme formée par les trajectoires orthogonales.
Supposons, en effet, que cette famille soit formée par les courbes de paramètre t». Alors p^ sera une fonction de t»; on aura
lia).
du et la formule (35) nous donnera
dv Donc p„ sera une fonction de u, ce qui démontre la proposition,
2° Si des cercles géodésiques forment deux familles de courbes se coupant à angle droit, ces deux familles sont isothermes.
LES CERCLES GEODESIQUES. t5>
En effet, l'équation (36) est alors vérifiée, et nous venons de démontrer qu'elle caractérise les systèmes isothermes.
Il nous reste à indiquer quelle est la forme de l'élément linéaire pour de tels systèmes. Posons
?v pu
Les équations (33) nous donneront
"fi) ,, <d ,,. ^
Ou ov
d'où, en intégrant, on déduit
(37) ^ = irH-
Ainsi réièment linéaire est exprimé par la relation
dont la forme sjeule suffît à établir qu'il n'existe pas, en général, sur une surface donnée a /?r/or/, deux familles orthogonales composées de cercles géodésiques.
655. Nous avons déjà déterminé (n® 638) les surfaces donl routes les lignes de courbure sont des cercles géodésiques. Nous signalerons ici encore une question non résolue, analogue à celle que nous avons proposée relativement à l'élément linéaire de M. Liouville : Rechercher toutes les surfaces dont r élément linéaire peut être ramené de diK>erses manières à la forme (38), c est'à'dire qui admettent plusieurs couples de familles orthogonalès composées de cercles géodésiques.
Au nombre de ces surfaces on doit trouver évidemment toutes celles dont la courbure totale est constante. Nous nous contenterons de rappeler ici une proposition qui a été démontrée par MM. O. Bonnet et Catalan :
Etant données deua: droites!) et A, polaires Vune de Vautre par rapport à la sphère, tous les cercles dont les plans passent par A coupent à angle droit les cercles dont les plans passent
l56 LIVRE VI. — CHAPITRE VII. — LES CERCLES GÉODÉSI<}UES.
par D. Les deux familles de cercles orthogonaux ainsi déterminées sont les plus générales que Von puisse tracer sur la sphère.
On démontre immédiatement cette proposition au moyen du lemme suivant :
Quand deux cercles d\une sphère sont orthogonaux, le plan de chacun d^eux contient le pôle du plan de V autre par rapport à la sphère.
Ces systèmes orthogonaux composés de cercles ont déjà été employés aux n°* 206 et 207. On pourrait les retrouver ici en exprimant que l'élément linéaire (38) convient à une siirface dont la courbure est constante. On est ainsi conduit à une équation qui contient, en même temps que les fonctions U et V, leurs dérivées des deux premiers ordres et qui permettra de déterminer les expressions les plus générales de ces fonctions U et V.
