LES TRIANGLES GÉODÉSIQUES ET LE THÉORÈME DE GAUSS

Du système de coordonnées polaires dans une surface quelconque. — Développement suivant les puissances de u de la courbure totale et de* la quantité X qui figure dans l'expression

ds' = du* -h X» dv^

de l'élément linéaire. — Distance géodésique de deux points quelconques. — Son carré est développable en série. — Calcul des prenfiiers termes de celte série. — Triangles géodésiques infiniment petits. — Théorème de Gauss. — Expression de la surface du triangle. — Application des résultats précédents à la détermination de quelques infiniment petits relatifs aune courbe quelconque tracée sur la surface. — Expressions de l'arc approchées jusqu'aux termes du cinquième ordre. — Étude d'une question posée par M. ChristofFel : recherche des surfaces pour lesquelles il y a, entre les six éléments d'un triangle géodésique, une ou plusieurs relations indépendantes des coordonnées des six sommets. — Travaux de MM. Weingarten et von Mangoldt. — Les surfaces à courbure constante sont les seules pour lesquelles il y ait plus d'une relation entre les six éléments; et le nombre de ces relations est égal à trois. — Les surfaces applicables sur des surfaces de révolution sont les seules pour lesquelles il y ait une relation, et une seule, entre les six éléments. — Démonstration de ce dernier résultat par la considération des triangles géodésiques infiniment aplatis.

656. Considérons toutes les géodésiques passant par un point G d'une surface donnée [fig* 68). Nous avons vu [II, p. 4^7] <l"e, dans une région suffisamment petite s'éteridant autour du point G, chaque point A de la surface est bien déterminé par sa distance géodésique u = AG au point G et par l'angle v que fait en G la géodésique GA avec une courbe fixe quelconque GH,. choisie pour marquer l'origine des angles.

On sait qu'avec ce système de coordonnées l'élément linéaire esil défini par la formule

0) ds^=du'--i-'kidv^,

et que la courbure totale de la surface a pour expression

^^^ RR' ~ \ du*'

l58 LIVRE VI. — CHAPITRE VIII.

Si l'on porte des longueurs égales sur toutes les géodésiques passant en G, on obtient une courbe fermée entourant le point C. L'élément de l'arc de celte courbe a pour valeur

ds =^1 dv.

On voit donc que X doit devenir nul avec w, et, de plus, en assimilant la surface à un plan dans la région voisine du point C, on reconnaît que le rapport de X à w doit tendre vers l'unité

lorsque u diminue indéfiniment. Mais, pour établir ce point en toute rigueur et surtout pour obtenir des résultats plus complets sur la forme de \ nous devons donner quelques développeittents qui sont d'ailleurs nécessaires pour la suite. Soit

( 3 ) G?52 = E dpi -f- >. ¥ dpdq-hG dq*

l'expression de l'élément linéaire rapporté à un sj^stème de coordonnées quelconques /> et q. Si/?i, Çi désignent les coordonnées du point C, nous admettrons que E, F, G sont développables suivant les puissances de p — /;],, q — qi. Ges conditions sont évidemment remplies, avec une infinité de systèmes de coordonnées, pour toute région de la surface ne présentant pas de singularité. Pour plus de simplicité, substituons aux coordonnées/?, q les différences p — /?i, q — qi. De cette manière, les deux coordonnées du point Q deviendront nulles etEy F, G deviendront développables en séries of^données suivant les puissances de p et de q\ ces séries seront convergentes au moins tant que les modules de p et de q n' atteindront pas certaines limites déterminées.

Ges hypothèses étant admises, nous avons vu au n** 518

LKS TRIANGLES GÉODÉSIQUES ET LE THÉORÈME DE GAUSS- I Sg

[II, p. 4o8] que, si l'on trace une géodésique passant par le point (/?o, qo), les coordonnées/?, q d'un point quelconque de cette ligne sont définies par les équations

\ g-qo = q'-+- p/>'2+2py^'-h p^^'H-. . .,

où les coefficients ùl, a', a'', ..., p, P', P'', ... sont des séries, ordonnées suivant les puissances de po^ q^ et convergentes tant que les modules de ces variables sont inférieurs à des quantités déterminées. Quant aux quantités/?', q'^ elles ont pour expressions

8 désignant l'arc de la géodésique compté à partir du point initial (/?o, ^o)et(~j, \~Âj incliquant les valeurs initiales des

dérivées de /? et de ^ considérées comme fonctions de cet arc. Nous avons remarqué [II, p. 409] que l'on a

(6) E»/>'^-+-iF®/?''7'+G<>y'«=02,

E®, F®, G® étant les valeurs de E, F, G pour le point initial (/)o, qa)' D'après cela, les valeurs de /?, q données par les équations (4) doivent être regardées comme des séries ordonnées suivant les puissances des quatre variables /?o, q^^^ p\q\ séries qui sont convergentes quand les modules de ces variables sont inférieurs à certaines limites déterminées (^).

Ces résultats étant admis, supposons d'abord que le point (/>o, ^0) coïncide avec le point G; c'est-à-dire faisons

Alors la géodésique deviendra l'une de celles qui passent au point G, GB par exemple; l'arc 0 deviendra la variable que nous

(') Cette proposition résulte de la théorie des équations aux dérivées partielles. Car tes valeurs de 77 et de q données par les formules (4) peuvent être considérées comme des fonctions des trois variables /;„ q^y s définies par la double condition de satisfaire aux équations (16) du tonn,« II, p. 4o8, et de se réduire respectivement à ^, et à q^ pour « = 9. Il résulte alors de la théorie générale que les séries (4) seront convergentes pour des valeurs de p^, q^ et de s, c'est-à-dire de p' et de 9', dont les modules n'atteindront pas certaines quantités déterminées.

iCo LIVRE VI- — CHAPITUE VIII.

ayons appelée «; et, si l'on suppose que CH soit la courbe de [)aramètre q passant en C, l'angle v sera défini par les formules déjà employées [I, p. i54]

^.„ ^Ko/>'-l-Fo7'

où Eo, Fo) ^0 désignent maintenant les valeurs que prennent E, E, G au point G. Gomme on a aussi

Eo/>'--t- 2Fo/>'7'-f- Go7'-= it-,

on déduit des formules (7)

( Eo/>'-h Fo5''= /EoWco.sp,

( v/EoGo — F5 7'= v/Eo« sinç^.

(juant à p et à (/, ils s'expriment en fonction de /)' et de //' par les équations

p = p' -^- ap- H- ia' p' q' -\- a" q'--\- . . . ,

^•^^ ' q ^q'^hp"--y-).h'p'q-V^h"q'^

fjue l'on obtiendra en annulant dans les formules (i) les valeurs de /?o et de ^o-

Au moyen des équations (8) et (9), on peut exprimer p et y en fonction de a et de v et substituer les valeurs obtenues dans l'expression de l'élément linéaire de la surface. Si nous emploj'ons d'abord les formules (9), nous aurons des résultats tels que les

suivants

[ E = Eo -H e^p -\- e'o 7' 4- ... ,

[ G = Go-^à>•o/>'^-^o<7'^-•••; puis

\ dp =^dp-r-...,

( dq = dq -T .. .,

les termes négligés contenant tous/»' ou q' en facteur. Tl suit de là que l'on peut écrire

(12) ds'^ = Eo dp'--r- >.Fo dp' dq -\- Gq dq'~-^ H dp"^ h- iKdp'dq' ^ Ldq'^,

LES TRIANGLES GÉODÉSIQUES ET LE THÉORÈME DE GVISS. l(il

H, R, L étant des séries qui ne contiendront aucun terme indépendant de p' et de q'.

Si nous substituons maintenant dans la première partie

Eq dp'} -+- 2 Fq dp' dq' + Go dq'-

les valeurs (8) de/?' et de q\ elle devient

du"- + u^ dv^-.

Comme la différence ds- — du"^ doit contenir dv- en facteur, on aura nécessairement

H dp'^-¥- iK dp' dq' -\- h dq"^ = Udv'^\

et l'on reconnaît immédiatement que M sera une série, ordonnée suivant les puissances de m, dont tous les termes seront au moins du troisième degré par rapport à u^ les coefficients étant des fonctions entières de sint^ et de cosc De cette manière, Téquation (12) prendra Ja forme

ds'^= du^--i-l^ di>^, où Ton aura

et, par suite,

(i3) X = w-f- Na2-}- P«î^ Qa^-h Ru^-h...,

les coefficients étant, ici encore, des fonctions entières de sint^ et de cost^. Nous allons obtenir des résultats plus précis en raisonnant de la manière suivante.

657. La courbure totale de la surface, calculée avec les variables primitives p el g par les formules que nous avons données, est évidemment une fonction développable suivant les puissances de p et de q. Si l'on y remplace p et q par leurs expressions en u el V, il est clair que l'on obtiendra un résultat de la forme

(II) ^-5-, = A -+- Bw-+- Cw2^. . .,

où le coefficient de u"^ sera un polynôme homogène et de degré // en àin(', cosp.

Admettons cette conclusion, qu'il serait facile d'établir aulremont. Si, dans la formule (2), on substitue les valeurs précédentes D.- III. ,1

l62 LIVRE VI. — CHAPITRE VIII.

de X et de RR', on obtient l'identité

(A -hBw-hCw2-H...)(aH-NM2H-...) = 2N-^6Pw + ...,

d'où l'on déduit, en égalant les coefficients des mêmes puissances de u dans les deux membres,

B = iaQ,