C-h AP = 20 R

et, par suite,

On voit donc que l'on a définitivement

(l5) X = aH-Pw3-f-QM*-+-RM5+SM6 + ...,

le coefficient de u^ étant une constante, qui est égale au sixième de la courbure totale en G changée de signe, et, d^une manière générale , le coefficient de u^ étant un polynôme homogène d'ordre n — 3 par rapport à sin^» et à cosç^.

En particulier, les expressions de Q et de R seront Q = acosv -h b sint»,

( R == a' cos^^^ -+- è' sin^vj -h 2c' sinp cosp,

a, by a\ b' y c' étant des constantes d'ailleurs quelconques.

Il nous paraît très intéressant que \ revête une forme aussi particulière, quelle que soit la surface considérée. Il semble, en effet, que l'on pourrait choisir \ arbitrairement parmi les fonctions qui sont assujetties à l'unique condition de s'annuler avec u. Mais il faut conclure de notre analyse que, si l'expression de \ ne rentre pas dans la forme que nous avons donnée, la surface présentera une singularité au point C.

Avec l'expression précédente de X, la courbure totale sera déterminée par l'équation

(ï?) ^ =-6P-r2Qw-f-(6P2-2oR)w2-h(i8PQ-3oS)M3 -+-...,

que l'on obtient en appliquant la formule (2).

658. Nous allons maintenant étudier une autre question et montrer que la plus courte distance géodésique de deux points

LES TRIANGLES GÉODÉSIQUES ET LE THÉORÈME DE GAUSS. l63

A et B pris dans la région qui environne le point G {fig- 68) a svn carré développable en série suivant les puissances entières et positives des coordonnées p y q et po^ Çq des deux points, pourvu que ces deux points soient suffisamment rapprochés de G.

Supposons que /?ot ^o soient les coordonnées de A. Nous avons vu qu'une g.éodésique passant par ce point est définie parles deux équations (4)- Gomme on a, pour des valeurs nulles de p' et de q\

on peut résoudre ces équations (4) par rapport à />' et à q' et obtenir ainsi pour ces variables des expressions

(i8) p',q'=^{po^qo,p—Pfiiq — qo),

où le symbole P désigne des séries ordonnées suivant les puissances des quatre variables /?07 ^oj P — foj Ç — ^o 5 et il résulte d'ailleurs des propositions générales de la théorie des fonctions que ces séries seront convergentes tant que les modules de ces variables n'atteindront pas certaines limites, déterminées pour chacune d'elles. Par exemple, si 2Ï désigne la plus petite de ces limites, les séries seront convergentes pour toutes les valeurs des variables dont le module sera inférieur à 2 /. Nous allons montrer que ces séries peuvent être ordonnées suivant les puissances entières de P') 9i Poi Ço ^i rester convergentes tant que les modules de ces nouvelles variables sont inférieurs à l.

En effet, si les modules de /?, q^ p^^ q^ sont inférieurs à /, ceux des variables anciennes /?0) ^o? P — Poi <J — ^o sont certainement inférieurs à 2 / et, par suite, les séries (i8) sont absolument convergentes. On pourra donc grouper comme on voudra les termes de. ces séries sans altérer ni la convergence, ni la somme totale de chacune d'elles. D'après cela, réunissons en un seul groupe, dans cjîaque série (i8), tous les termes qui sont du même degré par rapport à />o> qa-, P ^—Poi Ç — Ço] puis développons par la formule du binôme les puissances des différences ;; — /?o, q — qo- Nous artrons ainsi les séries (i8) ordonnées suivant les puissances de P") ^5 Poi 7o et d'ailleurs convergentes, comme il fallait le démontrer.

l64 LIVRE VI. — CHAPITRE VIII.

Si, maintenant, on porte les valeurs de p\ q' dans la formule (6) 02=: EOyj'2-h o.FOp'q'-^ QOg'i^

où E^', F*^, G" sontdéveloppables suivant les puissances de/?o> Çof on reconnaîtra que 8- est développable en série convergente ordonnée suivant les puissances de /?, q^ po, qo quand les deux points A etB sont suffisamment voisins du point G. Telle est la proposition générale qu^il s'agissait d'établir.

659. Imaginons maintenant qu'aux variables p elq on substitue les coordonnées polaires u et v. Le développement de 9^ deviendra une série ordonnée suivant les puissances de u, Uq et dont les coefficients seront des fonctions entières de sint^, cosi^, sint^o»

COSi^O*

Les termes de degré moindre de cette série s'obtiennent aisément par l'application de la méthode précédente. On trouvera ainsi

([g) 62=^ M2-f- w2— 2MMo COS(t^ — t^o)H- Û,

Ù contenant les termes du troisième ordre et des ordres supérieurs. Mais on pourrait établir ce résultat par un raisonnement a priori. En effet, lorsque u et w© deviennent infiniment petits, l'expression de 0- doit se réduire à ce qu'elle est dans le cas du plan, et cette simple remarque permet d'écrire la formule précédente. Pour calculer Q, nous nous appuierons uniquement sur l'équation aux dérivées partielles

à laquelle doit satisfaire Ô, considérée comme fonction des variables u et V. Le calcul se trouve beaucoup simplifié par les remarques suivantes.

Si l'on fait ^/q = o, on a exactement 8^ ^^ ;^2^ Q = o. Tous les termes de la série ù doivent donc contenir Uq en facteur. On démontrera de même qu'ils doivent admettre les facteurs u et sin((^ — t^o) et la suite du calcul montre même que ù doit être divisible par w^wj sin2((; — ç^y Nous poserons donc

(21) 62 = ^2-1- m2 2UUq COs(t^ — Vq) -h 2 U^ ul sin2(p -- {>o)i^.

^ LES TRIANGLES GÉODÉSIQUES ET LE THÉORÈME DE GAUSS. l65

On voit qu'il suffirait de connaître le premier terme de ^ pour obtenir une expression de 8^ exacte jusqu'au cinquième ordre exclusivement. Pour déterminer ^, nous allons exprimer que 8 est une solution de l'équation (20); mais auparavant il convient de faire un changement de variables.

Posons

(22) ucosv = Xf us'inv = y.

Il est très facile de donner la signification géométrique des nouvelles variables x et y. Faisons correspondre, en effet, à chaque point M de la surface un point M' du plan tangent en C par la construction suivante. Sur la tangente en C à la géodésique CM, portons une longueur CM' égale à l'arc CM; x et y seront les coordonnées du point M' par rapport à des axes rectangulaires ayant leur origine en C et situés dans le plan tangent. Lorsqu'on substitue Jc el y k u et à v, les produits

2Q«, (2R + P2)^^2^ (2S + 2PQ)k5

deviennent des polynômes homogènes du premier, second, troisième degré par rapport k x ei hi y.

Nous poserons

(2R + P^)a2=2P2, ri = P + P,-P,-^P3 + ....

(2S + 2PQ)a^=2P3,

On aura

X2 = a^-h2nwS

et l'élément linéaire se présentera sous la forme suivante : ( 24 ) ds'^ = dx"^ -h dy^- ^ i\\{x dy — y dx )2.

La courbure totale, qui est déterminée par l'équation (17), aura pour expression nouvelle