LES TRIANGLES GÉODÉSIQUES ET LE THÉORÈME DE GAUSS

de ^0 7.Xo à :r et àj^. On trouvera ainsi

4^0 = P, Pi-f-p;

On calculera de même tLg, ({;,,, tj; 5, — Mais les expressions précédentes, qui permettent d'obtenir le carré de la distance géodésique jusqu'aux termes du sixième ordre, nous suffiront amplement.

660. Si l'on revient maintenant aux variables primitives a et r, on aura, en se bornant, par exemple, aux termes du cinquième ordre,

2 = U^'-T- U\ — 2 W^o COS ( P — ('0 )

I + w2j^2 sin2(p — (;o)[2P4-Qw-4-QoMo

Qq désignant ce que devient Q lorsqu'on y remplace r par \\. Si l'on veut d'ailleurs obtenir les termes du sixième ordre, il suffira d'ajouter dans les crochets la valeur suivante de 2^0 •

f ^ f — -h 3P2j wwocos(p — Po) — ^ ^ wz^o sin((^ — t^o)v

L'égalité (82) contient le théorème qui a été établi parLegendre pour les triangles sphériques infiniment petits et qui a été étendu par Gauss, dans les Disquisitiones, à tous les triangles géodésiques infiniment petits tracés sur une surface quelconque. Conservons les notations précédentes. Soient A le point de coordonnées Wo'^oj B le point de coordonnées w, v. Le triangle ABC ^fië' ^^) ^"ï'^ ses côtés composés de lignes géodésiques; et, si l'on désigne par a, 6, c, A, B^ C les côtés et les angles de ce triangle, on aura

u — a, uo—b, V — (;y = G. Si l'on désigne ensuite par a, ^, y les valeurs de la courbure

l68 LIVRE VI. — CHAPITRE VIII.

totale aux trois sommets A, B, C respectivement, la formule (17) nous donnera, si nous ne conservons que les deux premiers termes,

Y=6P, a = -6P-i2QoMo, p= — 6P-12QM. On déduit de là

/GP= — y, i2Q/< = Y — p, i2QoMo=Y — a,

L'équation (Sa) prendra donc la forme entièrement géométrique

a^hz sin^G

(35) c2 = a^-h 62- 2ab cosG - (oc -+- ? + ^y),

où l'on néglige seulement les termes à partir du sixième ordre.

Construisons un tiiangle lectiligne auaxiliaire dont les côtés seront a, /;, c et désignons par A^, B**, G*^ les angles de ce triangle. On a

En retranchant de l'équation (35) et divisant par ab, nous trouverons la relation

cosG — cosCo = (^a H- p -r- 9,y),

exacte jusqu'au troisième ordre inclusivement, et d'où il résulte que la différence entre G et G® est du second ordre. Il suit de là que l'on peut négliger le carré de cette différence et remplacer, dans la formule précédente,

cosG — cosG*^ et absm^C

respectivement par

(Go— G)sinC» et ab sin^O^.

On obtient ainsi

G = Go H — (a-h Q-h 2y).

Si Ton pose

aèsinCo

LES TRIANGLES GÉODÉSIQUES HT LE THÉORÈME DE GAUSS. rôg

S® sera l'aire du triangle rectiligne auxiliaire, et l'on aura

Par raison de symétrie, on peut écrire les trois é<juations de Gauss

A =.Vo-^5!(.,a4- P -+- Y ),

G =Co-f- —( oc -4- p -r-2v), 12 ' *

qui ramènent la résolution du triangle géodésique à celle d'un triangle plan et qui sont exactes jusqu'aux termes du troisiènu» ordre inclusivement. Si on les ajoute, on trouve

(37) A + B^G-t:= ^"(aH-3+T)-

Dans le cas de la sphère, on a

Cl l'on retrouve le théorème de Légendre.

On peut, du reste, déduire de l'expression seule de 9- tous les éléments du triangle géodésique. La formule relative à la difîérentielle d'un segment [II, p. ^ij] nous donne, en elTct, les relations suivantes, obtenues en faisant varier successivement une seule des coordonnées «, t^, ?<o> ^^oi

(38) -— = cosH, -r — =cosA., -v - A sin B, -—- = — AoSmA. Ou Ou(i av ôvq

)xo désignant la valeur que prend X au j^oint A[Uq, (^'q). Ou peut remarquer que )v, I.q sont ce que nous avons appelé, avec M. ChristofFel (n"633), les longueurs réduites des côtés a et b. Désignons-les par )v(a), '^{h); des formules précédentes, on dédull l'égalité

X(«)sinB-X(6)s,nA = ~-.-^--=^L J ^(j^^j;^)'

d'où il résulte que le premier membre est du quatrième ordre par

rapport aux longueurs des côtés. On a donc

^^-^^ sinA ~ sinB ~ sinC'

en négligeant seulement les termes à partir du quatrième ordre (*).

661. Il nous reste, pour compléter les résultats précédents, à faire connaître la surface du triangle géodésique. Il nous suffira

( • ) Les résultats que nous avons donnés dans le texte nous permettent d'obtenir des formules analogues à celles de Gauss, mais où l'approximation est poussée plus loin, jusqu'aux termes du quatrième ordre. Pour donner, à ces formule;^ une apparence entièrement géométrique, il faut introduire les valeurs de la courbure totale pour certains points du triangle, par exemple pour les milieux des côtés. Nous désignerons par a', p', y' les valeurs de la courbure totale pour les milieux des côtés a, b, c respectivement.

Les coordonnées des milieux des deux côtés a et 6 s'obtiennent sans difficulté et permettent de calculer très aisément les quantités a', Jâ'. Mais, pour obtenir y', il faut déterminer le milieu de la géodésique AB. L'équation de cette géodésique peut être donnée sous différentes formes; et, si l'on utilise, par exemple, la dernière des équations (38), on reconnaît que les coordonnées w, v de tout point de ^^^ doivent satisfaire à l'équation

(a) — = — A„smA.

Cette équation, jointe à la suivante

permettrait de déterminer les coordonnées du milieu de AB; mais, pour faire le calcul avec élégance, il est préférable de revenir aux coordonnées x tl y qui sont définies par les formules (22) et que nous avons déjà employées avec avantage. On trouve ainsi que, si X, Y désignent les coordonnées du milieu de AB, la formule (a) nous donne

- „ 6csinA, . .

X^o- Yx„= — ^ (f -+- sj,

s, désignant un infiniment petit du second ordre. Par raison de symétrie, on aura

de même

., . ac sinB, a:Y-yX= — ^ (1+S.2),

et l'on déduit de ces deux formules que l'on aura, comme il est aisé de le vérifier,

(b) x = ?-iS. Y = 21^.,

les termes négligés étant du troisième ordre et des ordres supérieurs.