LES TRIANGLES GÉODÉSIQUES ET LE THÉORÈME DE GAUSS. I

(limiter la méthode que Gauss a donnée, pour cet objet, dans les Disquisitiones.

Si l'on fait glisser infiniment peu {Jig. 69) le sommet B en B' sur le prolongement de AB, u el y prendront des accroissements du.f duj et la surface S croîtra de la quantité

àS ^ dS ^

-r- du -4- -— dVi ou c/p

Ce point étant établi, le calcul ne présente plus aucune difficulté. On a, en effet, par la formule (26) et en négligeant seulement les termes du troisième ordre,

^ =: — 6P^i2P, — 2oP, + i6P»(:r^4-y»),

et de là on déduit les expressions suivantes des six courbures cherchées

a =-6P — r2PÎ--2oPg-4- i6P»6», P' = 6P- 6PJ- 5P5-4- 4P'^», ^ = — 6P — 12P, — 20P, -f-i6P»aS a'= — 6P— 6P, — 5P, 4- 4P»a», y' = 6P— 6P.-^ 6PΗ 5P, — 5P^-5AP,-+-4P»(a»+6'+2a6cosC),

l'indice supérieur o indiquant le résultat de la substitution de Xg et de y^ à x et à y, et le syiïibole A désignant l'opération

Comme on a, d'après les équations (21) et (3i),

c»= a»-i-6*— 2a6cosC -f- 2<\>a^b* sin*C,^

24; = 2P + P.-f-PÎ-Ç[(^-2:J»+(^-ror] + |(P,+ P§)H-^