LES TRIANGLES GÉODÉSIQUES ET LE THÉORÈME DE GAUSS. 17'J

l'équation

( I-h H -h M — j M— MoCOS(p — Ço) — 1<JUoSiÛ{v— Vq)^ -h(T^^

(i-t- H)wocos(p — Vq) — u — ...-i-UoSin(v — i^fi)—-

x[i — •2Pfi2.2Qa3 + (3P2— '2R)m*+(6PQ — 2S)W5-+-...] = (,.

On déduit de là, par un calcul que nous omettons, F . .. 3P

{u'-h ul) -\- -— uuo cos ( p — Po ) — r Q "' — r Qo "0

(42) ] -H — i<2Mo[3Qcos(p — Po) — Qo]

(3 H uul [3Qo cos(p — ('0) — Q |,

les termes néjgligés étant du quatrième ordre et des ordres supérieurs.

Remplaçons Q;/, QoWq parleurs valeurs tirées des formules (34) en fonction de« courbures a, P, y? P^^s substituons a, h^ C à Uy «0, ^ — t'o* Nous aurons

H= JL.(462-f-3a2— oa^>cosC)

■ri(4«^

-h 362 gaôcosG)H *-(3a2|-3^2,2a^cosG),

avec le même ordre d'approximation que précédemment. L'expression de S peut s'écrire

Remarquons d'ailleurs qu'en négligeant seulement les termes du quatrième ordre, on a

sin G = sin G» i h ;;— ( a 4- p n- 2 y ) .

On peut donc écrire, en substituant cette valeur de sinC, S = S0(, + H)[,+ li^-(a + ? + n)]

En remplaçant H par sa valeur, on trouve

S = Sori-h — (4è2-h3a2 — 4a6cosG)

H L (4a2-h 3è2 /ab cosC) + -^ (3a^-h 3b^-— 2abcosC)\ . 120^ ^120^ 'J

Remarquons enfin que l'on peut, sans changer l'ordre d'approximation, remplacer 2a6cosC par 2abcosC^ ou a^ -h 6^ — c^, ce qui donne la formule définitive

(43) Sz^s4i 1 (^^-f-^^-+c^)(«-t-.p-+-ï) a^a-^b^^ + c^^-]

qui est parfaitement symétrique et qui est exacte jusqu'aux termes du quatrième ordre exclusivement.

Gauss a terminé les Disquisitiones en remarquant que, dans le cas de la sphère, la formule précédente devient

(44) s-Soj^i-f-^(û2-^^»2H e2)j, et peut être remplacée par la suivante

^^^^ ^"^ V sinAOsinBOsinCô'

qui est calculable par logarithmes.

662. La démonstration du théorème de Gauss repose entièrement sur l'expression que nous avons donnée plus haut de la dislance géodésique. Si l'on néglige les termes du cinquième ordre, cette expression prend la forme plus simple

(46) Ô2=m2H-m2 — '}.UUqCOS{v — Vq) -ir lVu^u1s\ïï^{v — P©)*

Nous allons indiquer quelques applications de cette formule, ainsi que du théorème de Gauss.

Soit MM' {fig- 70) une courbe quelconque tracée sur la surface. Nous supposerons qu'on ait placé en M l'origine des coordonnées polaires précédemment définies et que l'on compte les angles v en prenant pour origine la géodésique MP' tangente en M à la courbe considérée.

Si nous considérons un arc infiniment petit de cette courbe MM',

LES TRIANGLES GÉODÉSIQUES ET LE THEOREME DE GAUSS. Ijb

son équation sera de la forme

(47) V = au -\~ bu^ ->!- cii^ -\- . . . ,

<7, by c désignant des constantes. Il faut, en effet, que p s'annule avec u.

L'arc s de la courbe sera défini par l'équation

ds^ ' 7 2 ^^* du'^ ~ du"*-^

qui donne, par une extraction de racine carrée,

-^ = iH u"^ -\- lahu^ -h ( 3ac V 2 02-+- Pa2 — ) m^h-.. .

du 7. \ 8 /

et, par suite,

(48) s^u-^'^a^--r~u^-\-Uac^kb'^-^Va'^-'Ç\'^-^....

On déduit de là, en résolvant par rapport à m,

(4g) u = s— -rrS^ —5* H- ( — -a^— - «2 — hi — ac\s^-\-

^ 6 2 Vï2o 5 5 5/

Supposons que w, v soient les coordonnées du point W . Si Ton appelle i Tangle de la tangente en M' avec la corde géodésique MHM', on aura

sini = X^ = M(l-hPa2)-j^ = a* -h 2 ôs* h- (aP 4-3c — | a^ j «3 +

En passant du sinus à l'arc, on trouve

(5o) i =i as -\- iùs^-i- laP -^3c ~ -a^j s^ ^. . .-^

er, par conséquent, on pourra calculer la courhure géodésique par la formule

ds .. d\ — = di-\- -~- av.

p ou

On obtient ainsi

(5») - = 2a-H6Ô5-»-(6aPH-i2c — ia^)s*-\

Appelons po ^^^\ les rayons de courbure en M et en M'. Nous aurons

(5a) 2a = — , 665=— (6aP-i-i2C~2a^)f'-+-. . :.

Po Pi Po

Nous pouvons dès à présent indiquer une application. Si l'on porte les valeurs de a et de bs tirées des équations précédentes dans le deuxième et le troisième terme de la formule (49)) on trouve

(53) *-«= ~i^ n/'-^a*- — Pa«- 3«c-l- ^6« W^-f- . . . .

Ainsi la différence entre l'arc et la corde fféodésiquc est — ; 7

, ^ ^ a4poPi

Terreur commise étant seulement du cinquième ordre.

663. Supposons maintenant que Von abaisse du point M'^ [fig- 70) une géodésique M'F perpendiculaire sur la géodésique tangente en M. Soient, pour un instant, t^o l'arc MP' et 9 la géodésique M'P'. On aura

02= a* H- ul— 2nUQ cosc -+ 2P u^ul sin't',

et, pour exprimer que la géodésique est normale en P' à MP', il suffira évidemment d'annuler la dérivée de ô^ par rapport à (/„ : (*,ela donne l'équation

Uo~ u coav -i- iPu^Uosin^v = o,