ES TRIANGLES GKODÉSIQUES ET LE THÉORÈME DE GAUSS

entre Uq et u cost^ est du cinquième ordre. On peut écrire

uv- r

Mo = w cost' — 2P u'^ sin^p cost^ — u ■ — f a* w — iPa^a^.

La sabstilution de la valeur de v nous donne l MP = a — ■ auu* — ...

En introduLsantdansledeuxième et le troisième terme les valeurs de rt et de 6 données par les formules (62), on trouvera

l'erreur commise étant du cinquième ordre seulement.

Si l'on abaisse de même de M une perpendiculaire géodésiqiie MP sur la géodésique tangente en M', on aura, en échangeant po ^tp, dans Téquation précédente,

(56) M'P=-.-eî±l£!...

La combinaison des deux formules (55) et (56) nous donne l'équation

MP'-h M'P - 25 = - -T^ITT (P? H- Pï -+- 6poPl ) ■'•^PjPï

Si Ton remarque maintenant que la diflerence

P,V^-P?-2P"P| - (Po-Pi)-

est du second ordre par rapport à i', on voit que l'on pourra, sans changer le degré d^approximation, remplacer dans la parenthèse Po~»~Pi P*''* ^poPt» ^^ ^i*i donnera

(57) MP'-h MV - ys=^~ -^,

■ipopi

Terreur commise étant dxi cinquième ordre seulement. En élimi-

nant enfin le terme en entre l'équation (53') et la précédente,

on aura