B. - III. XI

178 Livre vi. — chapitre viii.

et cette expression de Tare sera encore exacte jusqu'aux termes du cinquième ordre exclusivement.

Les expressions de po et de p< nous permettent encore d'écrire les formules

6 V p pi/ '

6\pi 9/

que nous nous contenterons de signaler et où l'erreur commise est du troisième ordre.

664. La valeur de MP' a été obtenue par l'emploi de la formule (46) relative à la distance géodésique. On aurait pu aussi faire usage du théorème de Gauss en raisonnant de la manière suivante.

Considérons, d'une manière générale, un triangle géodésique A.BG et conservons toutes les notations précédentes. Si l'on construit le triangle plan auxiliaire dont les côtés sont égaux à ceux du triangle géodésique, les angles de ce triangle, donnés par les formules (36), auront pour expressions

(59) {Bo=.B--a,

a étant la courbure en un point quelconque du triangle et l'erreur

commise étant maintenant du troisième ordre. Tant qu'il sera

permis de négliger cette erreur, on pourra donc traiter le

triangle géodésique comme un triangle plan, à la condition.

g d'ajouter — ~-ol à chacun de ses angles.

Appliquons cette remarque au triangle M M' F. La surface de ce triangle est sensiblement égale à

T I CtlJL^

-MM'xMP'sinp = -vu>^ — • 2 22

La courbure totale en M est — 6P. On pourra donc assimiler le

LES TRIANCÎLES GEODÉSIQUES ET LE THEOREME DE GAUSS. I79

triangle à un triangle plan, pourvu que Ton remplace l'angle en M, qui est p, par t' -ha Pm^ et l'angle enP, qui est droit, par — \- aVu^.

Si Ton écrit maintenant la proportion des sinus, on obtient les

égalités

M'P' u MF'

sin(V-haPw') . /"^ t» ,\ cosiv -^ 2aP u^)*

d'où l'on déduit les valeurs

MP'= acosp,

exactes, l'une et l'autre, jusqu'aux termes du cinquième ordre. Ces résultats sont d'accord avec ceux que nous avons donnés plus haut.

665. Une méthode analogue peut être appliquée au calcul du triangle MM'O. La surface de ce triangle étant à peu près la moitié de celle du triangle M M' F', il faudra substituer aux angles /et pies suivants

aPu*

les termes négligés étant du quatrième ordre au moins. Alors la proportion des sinus nous donnera

OM OW u

sint' ~~ siai^' ~~ sm(e'-t- p')*

si l'on remplace, i' et v' par leurs valeurs, on pourra obtenir pour OM et OM' des valeurs exactes jusqu'aux termes du quatrième ordre. On trouve ainsi