OM
Si, au lieu d'écrirq la proportion des sinus, on emploie la formule
u = OM cos v' H- OM' cos i'.
l8o LIVRE VI. — CHAPITRE VlII.
on aura, par le développement des cosinus, l'équation
2 *- ^«z, ^ ^ rM»/r' ^*
u-OM- DM' =- — OM OM' - -f- OM -- -f- OM , . ,
OÙ l'on néglige seulement les termes du sixième ordre. Calculons le second membre en remarquant que le calcul est beaucoup faci- .lité si on l'écrit sous" la forme *
— ( OM -+- OM') — -{- OM' h OM — -+- OM' —.-+-....
En employant les valeurs précédentes de OM et de OM', nous trouverons
^, 0M — OM =— — u^ —~ abu'* — ( b'- -^ xac -^ V a-^ -^ %\it^-\ ....
Si l'on remplace encore, dans les deux premiers termes, a et b parleurs valeurs (62), il viendra
(GO î^ — OM — 0M' =
«popi
l'erreur commise étant seulement du cinquième ordre. En utilisant la formule (5v3), on voit que l'on a, au même ordre d'approximation, ,
(62) OM -4-0M'=- Ss - 2W.
11 ne nous reste plus qu'à donner l'expression de l'angle O de deux tangentes géodésiques infiniment voisines. D'après le théorème de Gauss, on aura, dans le triangle MOM',
i -\- V -\- r: — O— Tt = u^ ,
d'où l'on déduit
.-. . 3aP ..
Remplaçant i et t^ parleurs valeurs, on trouve
(63) 0 - 2aM-f- 3 6a2-t-(4c-r ^^ — ^^"^. En négligeant le troisième ordre, on a
(64) 0=.îH-^'= - (- -h -V-
^ Vpo pi/
LES TRIANGLES GÉODÉSIQUES ET LE THÉORÈME DE GAUSS. l8l
666. Dans la suite de cet Ouvrage, nous aurons à appliquer plus d'une fols les propositions générales qui ont été établies, dans ce Livre et dans le précédent, relativement aux lignes géodesiques. Nous terminerons ce que nous avons à dire maintenant sur ce sujet en indiquant rapidement la solution d'une belle (piestion qui a été posée par les travaux de M. Christoffel, et dans laquelle M. Weingarten a employé de la manière la plus élégante le théorème de Gauss et les formules (36) données plus haut.
Considérons, sur une surface quelconque, un point A et menons par ce point deux lignes géodésiques AB, AG. En joignant les points B et G par une géodésique, on formera un triangle géodésique ABG, dont nous désignerons les six cléments par les lettres rt, 6, c, A, B, G. Ge triangle est complètement défini si l'on se donne les coordonnées u et v du point A, l'angle w que fait la géodésique AB avec une courbe déterminée passant par A, par exemple avec la courbe de paramètre v^ et enfin les trois éléments
AB = c, AG = b, CAB = A.
Les trois autres éléments B, G, a peuvent donc être regardés comme des fonctions bien déterminées des six quantités
Gela posé, il pourra se présenter quatre cas distincts :
r' Les formules qui expriment B, G, a ne contiendront aucune des trois quantités «, i^, w. Il y aura alors trois relations distinctes entre les six éléments du triangle géodésique; et il résulte de la méthode précédente que ce nombre de trois relations est un maximum qui ne pourra être dépassé.
2" et 3"* Les formules contiendront une ou plusieurs des quantités u^ v^ (o; mais on pourra éliminer u, c, a> entre les trois équations qui expriment B, G,'fl, de manière à obtenir soit une, soit deux relations entre les six éléments, relations qui seront vérifiées pour tout triangle géodésique tracé sur la surface.
4° Les formules qui font connaître B, C, a nous donneront pour ces trois éléments des fonctions des quantités u, t^, oj qui seront réellement indépendantes; do sorte qu'il n'y aura» entre les six éléments d'un triangle géodésique, aucune relation indépendante des coordonnées de ses sommets.
l82 LIVRE VI. — CHAPITRE VIII.
D'après cela, on sera conduit à la classification suivante des surfaces, qui a été proposée par M. Christoffel, dans le remarquable Mémoire que nous avons déjà cité [p. i lo].
La première classe comprendra les surfaces pour lesquelles il nV a aucune relation entre les six éléments d'un triangle géodésique.
Toute surface qui n'appartient pas à la première classe, c'està-dire pour laquelle il y a une ou plusieurs relations entre les six éléments d'un triangle géodésique, sera de la deuxième, de la troisième ou de la quatrième classe suivant que le nombre de ces relations entre les éléments sera égal à un, à deux ou à trois.
Comme les formules qui déterminent les géodésiques ne dépendent que de l'élément linéaire, deux surfaces applicables Tune sur Vautre feront évidemment partie de la même classe. Le pîan par exemple, est une surface de la quatrième classe; il en sera donc de même de toutes les surfaces développables; et les relations seront les mêmes entre les éléments d'un triangle plan et ceu\ d'un triangle géodésique tracé sur une développable quelconque. De mqme, nous avons vu au n** 599 que l'élément linéaire
de toute surface à courbure constante positive ^ peut être ramené
à la forme (i6) [p. 4^]» q"> convient aussi à une sphère de rayon R. Il suit de là qu'il y aura, entre les six éléments de tout
triangle géodésique tracé sur la surface de courbure constante -zr^y les relations fondamentales de la Trigonométrie sphérique,
cos — = cos ^ cos ^ -h sin :g sin — cos A,
{^ù) { cos— = cos ô^os rr -t- sin^j sin r- cosB,
cos — = cos ^ cos ^ H- sin Tj sm - cos G. K n K K K
Dans un Mémoire déjà ancien ( * ), M. Minding a fait la remarque très importante, mais à peu près évidente, qu'il suffît de changer S dans ces formules Pt en Rt pour obtenir les relations qui con-
(*) MiNDiNQ (F.), Beitràge zur Théorie der kiirzesten Linien auf krummen FLàchen ( Journal de Crelle, t. XX, p. 3^3 ; i84o ).
cos
ai R
bi
cos-
sin
et R
sin
cos A,
cos
bi H
