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LES TRIANGLES GÉODÉSIQUES ET LE THÉORÈME DE GAUSS. l83

viennent pour tout triangle géodésique tracé sur une surface à courbure négative. Les équations (65) se transforment ainsi dans les suivantes

qui jouent, dans la trigonométrie des surfaces à courbure constante négative, le même rôle que les formules (65) dans la géométrie de la sphère.

Ainsi, toutes les surfaces à courbure constante appartiennent à la quatrième classe. Envisageons maintenant une surface quelconque de révolution que nous supposerons rapportée au sj'slème formé par les méridiens et les parallèles. Soient u et v les coordonnées d'un point quelconque de la surface, u étant le paramètre qui demeure constant sur chaque parallèle et v l'angle du plan méridien passant par le point avec un plan méridien fixe. Désignons par UQy ç^Oî Wjî ^i> ^2? ^2 les coordonnées des trois sommets d'un triangle géodésique quelconque. Les six éléments de ce triangle seront des fonctions des six coordonnées précédentes; mais, comme on peut faire tourner la surface autour dt 3on axe sans altérer les éléments du triangle géodésique, il est clair que ceux-ci ne dépendront effectivement que des trois quantités w©, Mi, U2 et des deux différences v^ — Vq^ ^\ — ^©j soit, en tout, cinq quantités. Il y aura donc au moins une relation entre les six éléments du triangle géodésique.

Ainsi, les surfaces de révolution et, plus généralement, toutes les surfaces qui sont applicables sur une surface de révolution, appartiendront à la deuxième, à la troisième ou à la quatrième classe.

667. M. Christoffel n'avait pas poussé plus loin ces recherches : il n'avait apporté aucun exemple d'une surface appartenant à la troisième classe, et il s'était contenté de démontrer que toute surface de la quatrième classe a nécessairement sa courbure totale

constante. M. Weingarten, qui a repris cette étude en 1882 (•), a démoutff^, par une méthode nouvelle, la proposition précédenU! de M. CliristofTel, et il a réussi à établir de plus qu'il n'existe aucune surface de la troisième classe.

Désignons par «0, <'o? '^jv^'o ^^2» ^2 les coordonnées des trois sommets d'un triangle géodésique. Les six éléments <^, by c, A, B, C du triangle seront des fonctions de ces six coordonnées. ,Par suite, si la surface appartient à la première classe, ces fonctions seront indépendantes et il sera impossible de déplacer infiniment peu le triangle géodésique sans le déformer, c'est-à-dire sans altérer au moins un de ses éléments; car les différentielles da, db, . . . des éléments sont des fonctions indépendantes des différentielles des six coordonnées et ne peuvent s'annuler toutes sans qu'il en soit de même de ces dernières, duo^ dv^^ .... Si la surface appartient à là deuxième classe, on pourra se contenter d'exprimer cinq des éléments du triangle en fonction des coordonnées, le sixième sera donné par l'équation qui relie les six éléments. Si donc on veut déplacer le triangle sans en faire varier les six éléments, il suffira d'assujettir les six coordonnées à cinq relations distinctes. Il ^ aura donc une suite de positions du triangle dépendante d'un seul paramètre variable et dans laquelle chaque sommet décrira une courbe.

Si la surface appartient à la troisième ou à la quatrième classe, il y aura deux ou trois relations entre les six éléments; par suite, on exprimera quatre ou trois éléments en fonction des coordonnées des sommets, les autres étant définis par les relations qui existent, par hypothèse, entre les six éléments. Il suit de là que, si l'on veut déplacer le triangle sans altérer ses éléments, il faudra écrire seulement quatre ou trois relations distinctes entre les six coordonnées des sommets. En d'autres termes, ces six coordonnées seront fonctions de deux ou de trois variables indépendantes. 11 suit de là que les coordonnées du sommet A sont des fonctions de deux ou de trois variables indépendantes, et, par suite, que ce sommet peut être déplacé d'une manière quelconque sur la surface.

C) Weingarten (J.), Ueber die Verschiebbarkeit geodàtischer Dreiecke in krurnmen Flàchen {Sitzungsberichte der K. P. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, p. 4'>3).