LES TRIANGLES G ÉO D K S I QU E S ET LE THEOREME DE GAUSS. »S
A la vérité, on peut objecter que les coordonnées Uq et p© ^^ A peuvent ne pas être des fonctions distinctes des deux variables indépendantes; et, s'il en est ainsi, le sommet A sera assujetti à demeurer sur une courbe. Mais il est aisé de jprouver que ce fait exceptionnel ne peut se présenter pour chacun des trois sommets du triang-le géodéslque.
En eftet, si les trois sommets A, B^ C étaient assujettis à demeurer respectivement sur trois courbes (A), (B), (C), leurs coordonnées seraient fondions de trois paramètres, par exemple des arcs Aq A., BqB, CqC comptés sur ces courbes à partir d'origines fixes Af,, Bq, Cq. Deux au moins de ces paramètres, AoAer BqB par exemple, devraient être arbitraires, puisque la position des sommets doit dépendre de deux ou de trois paramètres distincts. Il suit (le là que A et B pourraient être choisis arbitrairement et, par suite, que la distance géodésique AB de deux points A et B pris arbitrairement sur les courbes (A) et (B) devrait être constante, ce qui est évidemment absurde. 11 est donc permis d'affirmer que l'un au moins des sommets du triangle géodésique peut être déplace arbitrairement sur la surface. Gela suffit pour l'objet que nous avons en vue.
Reportons-nous aux formules (36). On peut en déduire des expressions de a, p, V en fonction des éléments du triangle géodésique, telles que la suivante
^3(A-Ao)-(B--Bo)-(G-Co) . ^
(67) CL=:6 g- hC,
£ étant une quantité qui est du second ordre par rapport aux éléments du triangle.
Supposons que la surface appartienne à la troisième ou à la quatrième classe : le sommet A pourra être amené en deux points quelconques A,» et A< d'une certaine région de la surface sans que les éléments du triangle aient varié. Désignons par ao et ai les courbures de la surface en ces points ; on aura
^3(A-Ao)- fB — Bo) — (G-C^) ao = i ôjj ^- £o>
,3(A — AM-fB — BO)— (C-O) a;=:3 g^ -4- s,.
l86 LIVRE VI. — CHAPITRE VIII.
Si donc on désigne, pour abréger, par K la quanlité
on aura
. 3(A-Ao)-fB-Bo)-(C-Co) *^ = ^ — — - — S
Il suffit de supposer que les dimensions du triangle diminuent indéfiniment pour reconnaître que le rapport précédent est égal à l'unité. Par suite, la surface a nécessairement sa courbure totale constante.
Ainsi la troisième et la quatrième classe de M. Christoffel se réunissent en une seule, qui comprend uniquement les surfaces à courbure totale constante.
668. Telle est la démonstration de M. Weingarten. Cet habile géomètre a essayé d'appliquer la même méthode aux surfaces de la deuxième classe; mais l'emploi du théorème de Gauss ne paraît pas devoir suffire à la définition complète des surfaces qui appartiennent à cette classe.
Nous avons vu que, dans ce cas, le triangle géodésique peut occuper une suite de positions qui dépend d'un seul paramètre variable, et dans laquelle chaque sommet décrit une courbe (F). Mais il n'y a aucune raison de supposer que les courbes (F) sont les mêmes pour tous les triangles possibles et ne changent pas quand les éléments de ces triangles prennent différentes valeurs. Du moins, la formule précédente (68) nous permet de conclure que toutes ces courbes (F) tendent, lorsque les côtés du triangle deviennent infiniment petits, vers les courbes (G) sur lesquelles la courbure totale de la surface demeure constante» et s'en rapprochent de manière à en être distantes de quantités infiniment petites du second ordre par rapport à ces côtés. Il résulte en effet de cette formule que les valeurs de la courbure totale en deux points distincts de la courbe décrite par le sommet A ont un rapport qui diffère de l'unité d'une quantité infiniment petite du second ordre par rapport aux côtés du triangle géodésique considéré.
Considérons ces courbes (G) sur chacune desquelles la courbure totale demeure constante. Nous allons montrer qu'elles forment une famille de courbes parallèles.
