LES TRIANGLES GÉODESIQVES ET LE THEOREME DE GAUSS

Soient, en effet, (C), (G'), (G") trois d'entre elles, que nous supposerons infiniment voisines. Prenons sur ces trois courbes respectivement trois points infiniment voisins a, b, c, qui seront les sommets d'un triangle géodésique infiniment petit abc. Déplaçons ensuite ce triangle géodésique abc, sans changer ses éléments, de manière que le point a, par exemple, décrive sur sa trajectoire un arc fini aa^ . Le triangle viendra occuper une certaine position a^ bi Ci dans laquelle les points a^ , bt , c^ seront à des distances du second ordre des courbe^ (G), (G^), (G^') respectivement. Donc si on les ramène sur ces courbes par les plus courts chemins, en substituant, par exemple, à chaque point le pied de la perpendiculaire géodésique abaissée de ce point sur la courbe correspondante, on formera un triangle «a ^2^2 dont les sommets seront situés sur les trois courbes et dont les côtés ne diff'éreront de ceux du triangle abc que de quantités infiniment petites du second ordre. On aura, en particulier,

a2bt=ab(i-r-ri),

Ti étant du premier ordre. Il suit de là que, si l'on fait tourner ab autour de a, «2^2 tournera autour de «2; «^ et «2^2 passeront en même temps par un minimum. Donc les plus courtes distances de (G) et de (G') seront les mêmes en deux points quelconques a et.aa- En d'autres termes, les courbes (G) seront parallèles ou géodésique ment équidistantes.

G'est là, à ce qu'il semble, tout ce que Ton peut déduire, en ce qui concerne les surfaces de seconde classe, du théorème de Gauss. M. von Mangoldt (*), à qui l'on doit cette remarque, a complété les recherches de M. Weingarten et il a pu établir par une méthode savante que la seconde classe comprend seulement les surfaces de révolution à courbure totale variable. On peut substituer aux développements en série donnés par M. von Mangoldt les remarques suivantes, qui ne sont peut-être pas à l'abri de toute objection, mais qui offrent cet avantage de reposer sur la considération d'un nouveau cas limite des triangles géodésiques.