LES TRIANGLES GÉODÉSK>UES ET LE THÉORÈME DE GAUSS

si souvent employée au Chapitre V; et nous avons vu (n" 627) que, si l'on substitue à la géodésique AB le chemin formé des géodcsiques AC et BC, la variation de longueur aura pour expression

(72) AG 4- CB — AB rrr. b-^c — ar=c/p'—p(/.

Le binôme c/p' — pc/ est une constante, dont on peut calculer la valeur pour tel point que Ton voudra, par exemple pour le point A. On a alors /? =^0; le triangle infiniment petit AHK donne

D'ailleurs, d'après l'équation (70), on a

,7=AE=[c]B.

La substitution de ces valeurs de /?, p'y q dans la formule précédente la transforme dans l'équation suivante

où l'on connaît la signification géométrique de chaque terme.

670. Telles sont les relations que nous allons appliquer au problème proposé. A cet effet, nous supposerons que la surface soit de seconde classe, c'est-à-dire qu'il y ait une relation, et une seule, entre les six éléments de tout triangle géodésique de la surface. Mettons cette relation sous la forme

et supposons, comme plus haut, que le point C se rapproche de AB d'une manière déterminée.

En divisant par A x B les deux membres de l'équation précédente et remplaçant dans le second membre A, B, C par leurs valeurs déduites des formules (Gq), on aura

b -r- c — a fa][6] Ax B ~ A2

Lorsque li tend vers zéro, le premier membre tend vers une limite déterminée [c] ; il faut donc qu'il en soit de même du second. On reconnaît aisément que la limite de ce second membre est de la forme

igO I IVRE VI. — CHAPITRE VHI.

et ne peut, par suite, se réduire identiquement à [c]. En l'égalant à [c], on aura donc nécessairement une relation

OÙ F a -une forme tout à fait déterminée. Nous obtenons ainsi la propriété suivante de toute surface appartenant à la seconde classe :

Si l'on prend sur une géodésique quelconque trois points A, B, G, il y aura nécessairement une relation indépendante des coordonnées des points A, B, G entre les segments AB, BG et les longueurs réduites [AG], [BG], [AG].

Pour traduire géométriquement cette proposition, nous remarquerons que, si l'on se sert de l'équation différentielle (71) pour développer en série la longueur réduite d'un segment AB, on trouvera

S étant la longueur AB; a, a! j 01!' désignant la courbure totale et ses dérivées successives par rapport à l'arc, calculées pour le point A.

Cette formule permet d'obtenir aisément les longueurs réduites