AB], [AG], [BG

mais, pour simplifier le calcul, nous supposerons que l'on ait AG = CB, c'est-à-dire a = 6.

On trouvera alors, en désignant par s la valeur commune de a et de 6,

[AG] = [a]= s — CL— —CL i .^5|. .

[GB] = [d] = s— CL—~Oi'- H -5«-{-...,

[AB] = [c] =25 — 4a^ — |a's*-+- 4(a2- 3a'')*«-+-. . .,

a et ses dérivées étant calculées pour le point A.

Eki substituant les expressions précédentes dans la relation (^4) et faisant tendre ensuite s vers zéro, on obtiendra évidemment une

LCS TIUANGLIIS G li 0 D K S I Q L li S I:T LK T II E 0 R li M !•: DK G.VUSS. I91

relation

entre la coiirl)ure totale et ses deux premières dérivées par rapport à l'arc. Cette relation^ qui aura lieu en chaque ])Qint de la géodf'sique, sera d'ailleurs la même pour toutes les géodésiques de la surface.

071. Si l'on rapproche ce résultat de ceux que nous avons déjà obtenus, on reconnaîtra aisément que la surface est applicable sur une surface de révolution. Choisissons, en eOet, le SNStènic de coordonnées curviligires formé avec les lignes à courbure constante et leurs trajectoires orthogonales. Comme ces trajectoires sont, nous l'avons vu plus haut, des géodésiques, l'élément linéaire sera réductible à la forme

et l'on aura de plus

Il IV ~ G Ou''' '

V\n exprimant que lUV ne dépend (jue de u^ on serait conduit à la (orme suivante de G

où U désigne une fonction de u et V une fonction de t', et qui convient à des surfaces bien plus générales que les surfaces de révolution. Mais nous laisserons ce point de côté pour le moment. Si l'on remplace, dans l'équation (75), a par une fonction déterminée de u, elle se ramène à la suivante

, I du d'-v

où 4* est aussi une fonction déterminée et qui convient à toutes les géodésiques de la surface*

Considérons, en particulier, les g<'0(lésiques tangentes aux différents points de l'une des courbes de paramctfe //o> q"e nous désignerons par (C**). Si M est un point de cette courbe, lagéodésique tangente en M donnera lieu, dans le voisinage de ce point,