II

du — o{r) dr,

et p s'obtiendra par la quadrature précédente. Cette formule (lo) sera valable tant que r ne dépassera pas R. Pour /' = R, on aura une valeur ç^ de v définie par l'équation

r^ao{r)dr

Lorsque la ligne géodésique pénétrera dans la zone MM'QQ', r ira en diminuant. On aura ici

du = — ^(r) dr

•i;(r) étant une fonction qui sera distincte de (f{r) tant que MM' ne sera pas un plan de symétrie, un équateur de la surface; et

Téquation de la ligne géodésique dans cette zone sera

Pour r = a, la ligne géodésique deviendra tangente en un certain point q au parallèle inférieur et la valeur ^2 de v correspondante à ce point sera définie par l'équation

"" a^{r)dr

r" a^{r)dr t^2— ^i = — / — /

Par suite, l'angle 0 compris entre les méridiens passant par le point final q et le point initial/? de la ligne géodésique aura pour valeur

Pour obtenir le cours ultérieur de la ligne géodésique, il suffira évidemment de prendre la symétrique de la portion trouvée par rapport au plan méridien passant par y, puis de faire tourner l'ensemble des deux portions ainsi obtenues autour de l'axe de la surface successivement des angles 2Q, 4^? 6Q, . . ., de sorte que la ligne géodésique se composera d'une suite de segments égaux disposés symétriquement autour de l'axe. Ces segments seront en nombre illimité tant que le rapport de 12 au nombre ir ne sera pas un nombre commensurable.

On sait que, sur la sphère, les lignes géodésiques sont toutes fermées. Proposons-nous de trouver toutes les surfaces jouissant de la même propriété. Elles devront avoir, on le reconnaîtra aisément, au moins un parallèle maximum; et, pour que les lignes géodésiques demeurant dans le voisinage de ce parallèle soient toutes fermées, il faudra que l'angle ù défini par la formule (i5) soit dans un rapport commensurable à tc pour toutes les valeurs de a. Cette condition exige évidemment que l'angle Q sait indépendant de a. On devra donc avoir

(.6) r-aWr) + ^(r)-\dr^