DÉTERMINATION DES GÉODÉSIQUES

m désignant un nombre commensurable constant. Nous sommes ainsi conduits au problème d'Analyse suivant : Déterminer la fonc-^ tion cp(r) -f- <|>(^) de telle manière que Téquation précédente ait lieu, au moins pour toutes les valeurs de a suffisamment voisines deR.

Par un changement de notations on ramène le problème précédente celui qui est résolu dans la théorie des courbes tautochrones.

Posons

(ï^) T^-'^'^h' ^^=^-^ÏÏi' r[cp(r)4-^<r)]=:2e(>).

L'intégrale précédente prend la forme

et, pour qu'elle 5oit indépendante de a, il faut que l'on ait, comme on sait,

En revenant aux notations primitives, on trouvera ici

cp(/')-t-4^(r) =

V/R2— r« On aura d'ailleurs

Q= I = Cit.

Il suffira donc de prendre C = fnl^ m étant un nombre commensurable, et l'on aura l'équation de condition

Cette équation admet une interprétation géométrique. Remarquons que les intégrales

désignent les arcs du méridien comptés à partir du parallèle MM',

le premier dans la zone supérieure, le second dans la zone inférieure. En désignant par .s, s' ces deux arcs, la formule (i8) nous donne

(19) 5 H- 5'= 2mR arc cos — •

x^insi, pour que les lignes géodésiques soient fermées, il faut que l'arc du méridien compris entre deux parallèles égaux soit égal à m fois V expression que l'on obtiendrait si l'on remplaçait la surface par une sphère de rayon R.

Dans le cas où le parallèle maximum est un plan de symétrie, on a

l'équation (19) nous donne

r 5 == mR arc cos— j K

r = R cos — —} mR

et l'élément linéaire de la surface de révolution prend la forme

ds'^— du^-\- R2 cos^-^ dv'^.

Posons

(20) u — nx^u\ v = mv',

l'élément linéaire deviendra

(21) ds^= m^R^idu'^-hcos^u'dv'^).

Sous cette forme, on reconnaît immédiatement qu'il convient à une surface de révolution applicable sur la sphère de rayon /?iR. La condition que m soit un nombre commensurable s'interprète géométriquement de la manière suivante.

Considérons une surface de révolution comme composée d'un nombre illimité de feuillets superposés, engendrés parla rotation indéfinie du méridien. Alors un point de cette surface aura une infinité de systèmes de coordonnées w, {>; w, p-f-27c-, ..., u. ç -\- 2/nz: . . . , suivant qu'on le considérera comme appartenant au premier, au second feuillet ou au feuillet de rang h ~j- i. D'après cela, les formules (20) feront correspondre à un point {u. v) de la surface de révolution un point (w', ç') de la sphère défini par

DÉTERMINATION DES GEODESIQUKS.

les équations

U , V -\- iJlTZ

h étant un entier quelconque. Or, si m est incommensurable, les valeurs obtenues de v' correspondent toutes à des points distincts de la sphère; au contraire, si m est commensurable, ces valeurs de v' ne conviennent qu'à un nombre limité de points. Comme le même résultat se retrouve dans la transformation inverse, nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Les seules surfaces de révolution^ ayant un équateur^ pour lesquelles les lignes géodésiques soient toujours fermées, sont la sphère et les surfaces qui sont applicables sur la sphère de telle manière qu\ï chaque point de V une des surfaces correspondent des points en nombre limité de V autre {^ ).

583. Considérons maintenant l'élément linéaire défini par la formule générale

(23) ds'^^-{\} — V){\]\da'-^\\dv'^),

où u, Ui désignent des fonctions de u et V, \ ^ des fonctions de v. On pourrait, sans restreindre la généralité, supposer U< — - Vi = i ; mais nous garderons la forme précédente, parce qu'elle est la plus commode pour les applications. Remarquons d'ailleurs qu'elle comprend comme cas particulier celle qui convient aux surfaces de révolution; il suffira d'y remplacer V par une constante. En choisissant convenablement les différentes fonctions, on retrouvera aussi, nous l'avons déjà remarqué [I, p. 157], l'élément linéaire de l'ellipsoïde à trois axes inégaux rapporté à ses lignes de courbure. C'est à Jacobi que l'on doit, nous l'avons déjà dit, la détermination des lignes géodésiques de cette dernière surface. M. Liouville, qui a, le premier, considéré l'élément linéaire (23) sous sa forme la plus générale, a pu lui appliquer, sans avoir besoin de la modifier, la méthode si simple de Jacobi.

(') Vu n" 77 nous avons étudié d'une manière générale les surfaces de révolution applicables sur la sphère.

lO LIVRE VI. — CHAPITRE I.

L'équation qu'il s'agit d'intégrer est ici

'* "-^[ri(S)'*^(S)-]-

Écrivons-la comme il suit

nous reconnaîtrons immédiatement qu'elle admet une infinité de solutions qui sont la somme d'une fonction de u et d'une fonction de V. Pour de telles solutions, en effet, la valeur commune des deux membres de l'équation précédente rie peut dépendre ni de v ni de u et doit, par suite, se réduire à une constante, que nous désignerons par a. On trouve ainsi

ce qui donne

(2G) ^= fViy/TT^du-i- f\\s/^^r^ dv,

les radicaux y/U — a, \J a — V étant pris avec des signes quelconques.

Il suffira maintenant de prendre la dérivée de 9 par rapport à a et l'on sera conduit à l'équation générale des lignes géodésiques

JyJ\}-a J \/a-\[ Si l'on différentie cette équation, on obtient la relation .g. \}xdu \\dv

qui peut être regardée comme une intégrale première de l'équation différentielle des lignes géodésiques.

M. Liouville a montré qu'on peut la transformer d'une manière élégante en introduisant l'angle w que fait, en chaque point, la ligne géodésique avec la courbe coordonnée de paramètre ^. On a, en efTet (n*^ 499),

dscosiM = Ui/U — y du, ds sin to = Vi y/U — V û?t; ;

DETERMINATION DES GEODESIQUES. 11

ce qui permet de remplacer l'équation (28) par la suivante

cosco slno)

En résolvant par rapport à la constante, on trouvera

(30) a = U sin^w 4- Vcos^w.

Cette forme de l'intégrale première correspond à l'équation (9) de Clairaut; elle est très souvent employée.

5^. On aurait pu obtenir les résultats précédents par l'emploi d'un élégant artifice de calcul. Reprenons l'expression de l'élément linéaire

qu'on peut mettre sous la forme

^52= [(v/ir=~^)' -4- (/(r=^)'][(u, 6^.^)2 4-

On a ainsi le produit de deux sommes de carrés. En appliquant une formule bien connue, on peut transformer ce produit en une somme de carrés, ce qui donne

ds^^ (Ui /U —a du -I- Vi v/â^=T dvY-h ( V, /ÏT^^ «fp — U, v/«rr~V daf. Posons

(3 0 I IJi du Yidv

\/V —a v/rt — V

= rf6,:

il viendra

Cette ibrmulemet immédiatement en évidence les lignes géodésiques ( 0, =r const.) et leurs trajectoires orthogonales (8 = const.). On retrouve ainsi dans toute leur généralité les résultats précédents : l'équation de la ligne géodésique est

,2*>\ Ui du Vi dv

s/V—a Va — V

la différentielle de son arc est définie par la formule

(33)' ^. = c/0^Ui/îr=^rfi^4-V,v/^^=^rfp=î^£L£^--^^^I^r

l'>, LIVRE VI. — CHAPITRE

qui ramène le calcul de cet arc à celui de deux quadratures. Les deux équations précédentes nous donnent encore les relations

Vidu \idi>

v/U — a \Ja

qui feront connaître les valeurs ^^ ~r ■> 'j"

585. Parmi les surfaces dont l'élément linéaire est réductible à la forme (28), nous avons précédemment signalé le plan, la sphère [II, p. 422] et les surfaces du second degré [I, p. 157, ou II, p. 379]. Appliquons à ces surfaces la proposition générale que nous venons d'établir.

Soit d'abord

l'élément linéaire du plan, rapporté à des coordonnées elliptiques. En appliquant la formule (33), on voit que l'équation

OÙ a désigne une constante arbitraire, représentera une géodésique.du plan, c'est-à-dire une ligne droite.

Cette droite ne sera réelle que si la constante a est positive et Ton reconnaîtra aisément qu'elle est tangente à la conique homofocale de paramètre y/a. Ainsi V équation différentielle précédente, qui n^est autre que l'équation d^Euler, admet pour intégrale générale V équation en coordonnées elliptiques d^une droite tangente à la conique homofocale de paramètre y/a.

Ce résultat est dû à Lagrange, qui l'a donné dans son étude sur le problème d.es deux centres fixes (<). Il avait alors un grand

(') Voir Mécanique analytique, seconde Partie, Section VII, Chap. III, n° 84. Pour être tout à fait exact, nous devons dire que Lagrange obtient un résultat un peu plus général et retrouve l'équation d'Euler dans le cas où les trois forces qu'il considère se réduisent à une seule émanant d'un centre fixe et proportionnelle à la distance.

DÉTERMINATION DES GÉODÉSIQUES. l3

intérêt; car il constituait la première intégration de l'équation

d'Euler obtenue en dehors des méthodes purement aiial^'tiqaes.

Remarquons d'ailleurs que l'équation (33/ nous donnera ici

(37) ds = r r . ;

/({JL2 c2)(fJl2 a) Y(v2 c2)(v2— a)

et cette relation, qui fait connaître par des quadratures la longueur d'un segment de ligne droite, équivaut au théorème d'addition pour les intégrales elliptiques de seconde espèce.

Le lecteur établira aiséiiient des résultats analogues en déterminant les lignes géodésiques de la sphère siu moyen de la forme que nous avons donnée [II, p. 422]

ds^t=z (COS 2. U. — C0S2V) — ■ -\ ■

' \C0S2fJ. — C0S2C C0S2C — C0S2V/

pour l'élément linéaire de celte surface rapportée à des coordonnées elliptiques.

Une seule diiFérence mérite d'être signalée entre Ce cas et le précédent : la formule relative à l'arc d'une ligne géodésique donnera, pour la sphère, le théorème d'addition des intégrales elliptiqnes de troisième espèce.

586. Considérons maintenant une surface du second degré et choisissons, pour fixer les idées, un ellipsoïde à trois axes inégaux. Si Ton conserve toutes les notations déjà employées au n° 459 [n, p. 296] et si p désigne le paramètre de cet ellipsoïde, l'équation de Fellipsoïde sera

et Félément linéaire de cette surface sera donné par la formule

y(p) ayant pour valeur

(4o) /(p)^4(«,p-)(^„py(o-^p).

On déduit de là. par Papplicati on des formules précédentes ^ que

f4 LIVRE Vï. — CHAPTTRJB I.

l'équation générale d'une L'gne géôdésiqiie sera

^^^> V/'7(il(7^'^--//(P.)(P.-«)'^^--

(X désignant une constante arbitraire, et que l'arc de cette ligne aura pour différentielle

^^^V/CP)(p-a)^^^^V7(^0^

Ces résultats sont bien d.' accord ayec ceux que nous avons obtenus au n^ 462. p, paramètre des typerboloïdes à deux nappes, est compris entre a et h. On a donc

De même, le paramètre ^\ des lijperboloïdes à deux nappes, compris entre h et c, uous donne \^s> inégaEtés

/(Pi)<o, iH — P>o.

Il faudra donc, poiu^que ds soit réel, que l'on, ait

p— ^>o, pt — oe<o;

et, par suite, la constante a devra être comprise entrer etc. Cette condition pouvait être prévue; a, nous l'avons vu aux n^ 46i et 462, est le paramètre de la surface Komofocale à laquelle est circonscrite la développable formée par les tangentes de la ligne géodésique. Gomme une droite ne peut être tangente à deux ellipsoïdes homofocaux, il faut que a soit le paramètre d^unbyperboloïde et, par suite, compris entre a et c. De là résulte unC classification naturelle des lignes géodésiques de l'ellipsoïde, suivant que a sera inférieur, égal, ou supérieur à 2^» Si a est inférieur à 6, la développable formée par Les tangentes de la géodésique sera circonscrite à un hyperboloïde à une nappe. Si a est supérieur à 6, elle le sera à un hyperboloïde à deux nappes^ Enfin^ dans le cas intermédiaire où a est égal à h^ les tangentes de la géodésique iront toutes rencontrer la focale byperboliqne. On suit alors aisément le cours de la ligne géodésique, qui va passer par deux des quatre ombilics où cette focale rencontre rdlipsoïde; et ces deux ombilics sont diamétralement opposés.

DÉTERMINATION DES GÉODÉSIQUES. l5

Ainsi toutes les lignes géodésiques qui passent par un ombilic vont passer par V ombilic diamétralement opposé.

Si a est différent de Z>, on peut encore se rendre compte, soit par les équations, soit par la Géométrie, de la forme générale de la ligne géodésique. Supposons, pour fixer les idées,

Alors on aura les limites suivantes pour p et pour pi

6 < p < a, c< pi <a.

Lorsque p, devient égal à a, l'équation différentielle (4») nous donne

par suite, la géodésique doit être tangente à la ligne de courbure de paramètre a. Celte ligne se compose de deux traits fermés diamétralement opposés, décrits autour de deux ombilics comme une ellipse autour de ses foyers; et la ligne géodésique, placée dans la zone annulaire comprise entre ces deux courbes fermées, se dirigera de l'une à l'autre en leur devenant successivement tangente. Si on la prolonge indéfiniment, elle ne se fermera pas,.en général, et fera un nombre illimité de fois le tour de cette zone ellipsoïdale, dans laquelle elle est assujettie à demeurer. On peut établir ces résultats de la manière la plus nette au moyen de l'artifice suivant. Écrivons les équations

qui se déduisent des formules (4i) et (42) et où l'on prendra les radicaux avec Un signe déterminé : elles feront connaître le signe des différentielles d^ et âfp, lorsqu'on suppose ds positive, par exemple. Il est vrai que les signes des radicaux peuvent changer lorsque p ou pj atteignent les limites entre lesquelles ces paramètres doivent varier. Pour éviter ces difficultés, posons

(44) p = ècos^cp -h « sin2cp,

(45) pi= ccos'4'H- « sin^»);,

ce qui permettra bien d'obtenir, pour des valeurs réelles de © ou de t|), toutes les valeurs de p et de pt comprises dans les limites

iG LIVRE VI. CHAPITRE l

assignées plus liaut. Les équations (43) prendront la forme

(46) * ds^^=^-j^L^.

VP(cp) /Fi(4.)

y/F(cp), y/F, (tL) étant des radicaux qui ne pourront plus s'annuler et conserveront toujours le signe initial. Il suit de là que <icp et d^ ne changeront jamais de signe; et, par suite, cp, ^j;, considérées comme fonctions dé s^ oscilleront d'une manière régulière entre les limites que nous leur avons assignées. Lorsque cp variera, la ligne de courbure du paramètre p défini par l'équation (44) se déplacera en se déformant et tournera, toujours dans le même sens, autour de l'axe des z de l'ellipsoïde. Le point décrivant de la géodésique, qui oscille sur la portion de cette ligne comprise entre les deux points oiti elle coupe la ligne de courbure p^ = a, décrira un trait domt la forme générale sera bien celle que nous avons in<liq^uée*

587. Nous termitiei-ons ce Gkapitre en faisant connaître quelques propriétés générales qui appartiennent à toutes les surfaces dont l'élément linéaire est déterminé par la formule de LiouviUe

(47) ds^^ (U — Y)(Uî rfw2^ v; dv^),

les fonctions U, V, U^, V< conservant toute leur généralité. La première de ces propriétés a été signalée par M. Dini, dans un beau Mémoire sur lequel nous aurons l'occasion de revenir. Nous avons vu (n°^ 527) que, si l'on rapporte une surface à un système d'ellipses et d'hyperboles géodésiques, l'élément linéaire est déterminé par la formule suivante

(48) ds^ — \

. Oi (O

Slrt^ — COS2 —

Ce système coordonné, qui est orthogonal, peut-il être isotherme? Pour qu'il en soit ainsi, il faudra que Ton ait

(49) U;sin»- = Vîcos2-,

Ui et V, désignant des fonctions qui dépendent respectivement de u et de v. Cette équation détermine to et nous donne pour

DETERMINATION DES GEODESIQUES. I7

l'élément linéaire de la surface l'expression

(50) • ds^^ (^ + ~)(U? du^ + yldv-^),

qui rentre bien dans la forme (47)j mais qui paraît, au premier abord, en être un cas très particulier. En réalité, les deux formules sont aussi générales l'une que l'autre; nous laisserons au lecteur le soin de l'établir.

Ainsi on peut caractériser l'élément linéaire (47) en disant que les courbes coordonnées forment un système isotherme d'ellipses et d'hyperboles géodésiques. C'est là le résultat de M. Dini.

588. La seconde propriété est plus générale que la précédente, qu'elle comprend comme cas limite. On y est conduit en cherchant s'il existe des surfaces pour lesquelles une famille de courbes puisse être considérée de deux manières différentes comme formée d'ellipses ou d'hyperboles géodésiques, c'est-à-dire définie de deux manières différentes par une équation de la foTme

(5i) 6 + ff = const.,

où 8 et 0- sont les distances géodésiques à deux courbes fixes.

• Il est clair que, si cette propriété appartient à une famille de courbes, elle appartiendra aussi à la famille orthogonale qui est définie par la relation

(52) 6 — c-'— const.,

toutes les fois que la famille proposée l'est par Téquation (5i) [II, p. 417]- La question proposée peut donc se ramener à la suivante : Existe-t-il un système orthogonal qui puisse être regardé de deux manières différentes comme formé d'ellipses et d'hyperboles géodésiques?

Soit

( 53 ) ds^ = A2 du"^ -+- G* û?p2

l'expression de l'élément linéaire qui convient à ce système orthogonal. Par hypothèse, les équations des deux familles de courbes coordonnées sont les suivantes

ô -H a = const., 6 — cT = const., D. — III. 2

|8 LIVREVI.— CHAPITREI.

û et 0- étant les distances géodésiqiies d'un point de la surface a dcuK courbes fixes; il faudra donc que l'on ait

Fi6h-c7)=;/, F,(6 — a}^v

On déduit de là, en résolvant par rapport à 0 et c,

(54) ^ =(0(^11)~\-^(V\ <S =r:if(u) — >l>{v).

Mais ô et 0-, étant des distances géodésiques, doivent satisfaire à Féquation aux dérivées partielles caractéristique

En exprimant qu'il en est ainsi et que cette équation admet les deux solutions 8, o-, on est conduit à Tunique relation

et, réciproquement, toutes les fois que A et C sont liés par une équation de la forme (56), les courbes coordonnées sont des coniques géodésiques, lieux des points tels que la somme ou la différence de leurs distances géodésiques aux. deux courbes de base

i f\/V du -+- f s/y di> =r o, v/\' dv — 0

où Ton a

v = 'YHu),

\pVdu-f,;

soit constante sur chacune d'elles. Pour que ces courbes coordonnées puissent, de deux manières diiférentes, être regardées comme des coniques géodésiques, il sera donc nécessaire et suffisant que A et G vérifient deux relations distinctes

de même forme que l'équation (56).

Ces équations peuvent être résolues par rapport à A et à C; mais, avant de faire ce calcul, nous remarquerons qu'oii peut les

DÉTERMINATION DES GÉODÉSIOUES. I9

combiner linéairement -et en déduire l'équation nouvelle

XU-4-(i-X)Ui XVh-(i-->)Vi A* "^ G« ~''

qui sera de même forme qu'elles, pourvu que X soit une constante, d'ailleurs quelconque. Ainsi nous pouvons déjà énoncer le théorème suivant :

Lorsqu'un système orthogonal peut être considéré de deux manières distinctes comme formé de coniques géodésiques, il y a une infinité de manières différentes de lui conserver Cette propriété.

Si l'on calcule maintenant les valeurs de A et de G pour les porter dans l'élément linéaire, on obtient un résultat que l'on peut écrire comme il suit

C'est bien là la forme générale étudiée par M. Liouville.

Réciproquement, reprenons cette forme générale (47)- Si nous prenons les deux solutions déjà déterminées

a = Tu, y/U— «^— /Vi /^^=V dv

de l'équation aux dérivées partielles (55), les courbes coordonnées seront définies par les équations