CHAPITRE I
Formules élémentaires relatives à deux courbes tracées sur une surface. — Définition des paramètres différentiels du premier ordre A<p, A('f, 4^), ®(<P> «l')- — Paramètre du second ordre A^cp; méthode de M. Beltrami; formule analogue à celle de Green. — Expression du rayon de courbure géodésique d'une courbe au moyen des paramètres différentiels. — Les formations de M. Beltrami permettent d'obtenir tous les invariants différentiels de l'élément linéaire. Emploi des paramètres différentiels dans la solution de divers problèmes où il s'agit de ramener l'élément linéaire à une forme spéciale. — Calcul des paramètres différentiels des fonctions les plus simples. — De l'emploi de l'invariant du second ordre dans l'étude du problème de la représentation conforme et des systèmes isothermes. — Démonstration, due à M. Beltrami, du théorème de Gauss relatif à l'expression de la courbure totale.
672. On sait toute l'importance du rôle attribué aux deux paramètres différentiels du premier et du second ordre de Lamé, soit en Physique mathématique, soit dans la théorie des coordonnées curvilignes de l'espace. M. Beltrami, dans une série de beaux travaux qui remonte à i865 (*), a constitué pour les surfaces une
(') Voir Beltrami, Ricerche di analisi applicata alla Geometria {Giornale di Matematiche, t. Il; i865).
— Sulla teorica générale dei parametri differenziali {Memorie délia Accademia délie Scienze deW Istituto di Bologna, série II, t. VIII; 1869).
— Délie variabili complesse sopra una superficie qualunque {Annali di Matematica, série II, t. I, p. 829; 1867).
— Zur Théorie des Kriimmungsrnaasses (Mathematische Annalen, t. I, p. 575; 1869).
D. - III. i3
iy4 LIVREVII. -ciiapitrei,
théorie analogue et non moins utile, en suivant les idées et lés méthodes déjà appliquées dans le cas de trois dimensions. C'est cette théorie que nous allons maintenant exposer, afin de compléter l'ensemble des notions fondamentales qui apparaissent dans la solution des différents problèmes de la théorie des surfaces. Prenons l'élément linéaire sous la forme de Gàuss
( I ) ds^ =E ^^2 | p F du dv 4- G dv\
et soit
cpi^if, v) — const.
l'équation d'une famille de courbes. Si l'on désigne par da^ dv les différentielles relatives à un déplacement sur celle des courbes de la famille qui passe au point (w, p), on aura, comme on sait,
du \ à'Sf dv I ^<5>
ds ~ \\ ^/^ clf ' ^ ~ "" H y/ï^ au '
H, A^ désignant les expressions suivantes, déjà employées,
(3) H=^/ËG~rF^
(4) •^? = — ^ jP — ' '
Le signe attribué, dans les formules (2), au radical y/Acp correspondra au sens suivant lequel on se déplacera sur la courbe.
Imaginons maintenant que l'on se déplace à partir du point considéré suivant une autre courbe de la surface et représentons par la caractéristique S les différentielles relatives à ce nouveau déplacement. Si Ton désigne par w, w^ les angles qui déterminent les tangentes aux deux directions considérées, w se rapportant à la courbe ('^), nous aurons (n" 496)
. , , ., dv ou — du ov
sm (a> — (o ) — H
co?(to — 10')
ds 8.Ç
E du ou -^ ¥(du Bv -hdv Bu)-^-Gdv^v ds Zs
LES PARAMETIIES DIFFERENTIELS. Iy5
OU, en substituant les valeurs de duj dv^
8,si„(»,-«,')=--^(2-?B«+gs.)= ''
8f cos(a) — to'j
\ c)p du) \ du dv )
. ott — Of I
La première de ces formules peut s'écrire
__ acp
(6) A?~ 85sîn(w'-^u))'
et, comme toutes les quantités qui figurent dans le second membre ont une signification absolument indépendante du choix des variables u et p, on reconiiaît immédiatement que Acp est un invariant dont la valeur demeurera la même pour la même fonction cp et le même point, quel que soit le système de coordonnées auquel on rapporte la surface.
Le second membre de l'équation (6) peut être légèrement transformé. Remarquons, en effet,^que
§5 sin(u)' — • o))
est la projection du déplacement 85 sur la normale à la courbe ('>p), le sens des projections positives correspondant à l'angle (0+ ;^- En désignant cette projection par 8/z, on aura donc
(7) ^^^=Vn
Si l'on suppose que le déplacement ait lieu effeclivement suivant la normale, on reconnaît que y^A-^ est la dérivée de o suivant la normale. Cette propriété a déjà été établie d'une manière générale au n" 572.
Toutes les fois que la fonction cp satisfait à l'équalion
nous avons vu que les courbes (cp), obtenues en égalant la fonction cp à une constante, sont parallèles les unes aux autres et l'on peut ajouter que cp' — cp© désigne la longueur qu'il faut porter sur les géodésiques normales à l'une d'elles (cpo) pour obtenir les différents points de la courbe (<p). Plus généralement, si cp satisfait à
l'équation
Acp = F(cp),
F((p) désignant une fonction quelconque de cp, on aura encore une famille de courbes parallèles ; car, si l'on pose
v/F(cp) il vient
Acp'=.i,
et, par conséquent, les courbes (cp') ou, ce qui est la même chose, les courbes (cp) seront parallèles.
Il ne sera pas inutile d'examiner le cas où la fonction <p satisfait a l'équation
(9) Acp=:0.
Alors j si l'on se déplace sur la courbe (cp), on aura
do Oo
-^ du -+■ -r- dv = o,
Ou Oi>
et, comme l'équation en cp ne contient qu€ le rapport des dérivées de cp, on pourra éliminer ces dérivées, ce qui conduira à l'équation
ds"^ = li: du'- + '2 F du dv-\-Odv'^^o.
Il y a donc deux familles pour lesquelles la fonction ^ satisfait à l'équation (9) : ce sont les deux séries de cTourbes de longueur nulle; chacune d'elles peut être considérée soit comme formée de lignes géodésiques (n° 5i7), soit comme composée de courbes parallèles.
673. Du paramètre différentiel Acp, nous pouvons, en appliquant une méthode générale, déduire d'autres invariants se rapportant à deux fonctions. Si l'on y remplace © par cp-f-).6, X désignant
LES PARAMÈTRES DIFFERENTIELS. 197
une constante quelconque, on obtiendra un résultat de la forme
Le coefficient de \ sera évidemment un nouvel invariant que nous désignerions par A(», à). Le développement des calculs nous donne
âv dv. \dic dv ' Ov du ) du du (-0) A(o,^)= EG-F^
On voit que, pour 6 = cp, A(cp, '^) se réduit à Acp.
On peut encore établir Texistence du nouvel invariant de la manière suivante. Imaginons que, dans les formules (5), ouy ov se rapportent à un déplacement sur une courbe de la famille
'^{u, v) = const.
En appliquant les formules (2), on aura
tu I d^ ^^ ^ ^^ .
et la substitution des valeurs de 8w, ùi^ dans les formules (5) nous
donnera
ào d^ à'^) à^ du dv .du dv
sin(to' — tsj) =
COS(w' — O) ) =
1 OUI \^ w w , —zz .
Ces relations mettent d'abord en évidence la propriété d'invariance du symbole A(cp, <};); mais elles nous conduisent également à un nouvel invariant que nous désignerons par 0(cp, 6) et qui a pour expression
, , ^, ,, I /t^'f d^ ào d^\ I à{o,')j)
Les formules (11) s'écrivent alors de la manière suivante :
(11) sin(w — to) = . C0S((O — co) r= -— ^
Il résulte immédiatement de ces relations que, si l'on considère
Jes deux courbes définies par les équations
cp = o, ^ = o,
et un point commun à ces deux courbes, la condition pour qu'elles soient tangentes en ce point s'exprime par la relation
e(o, ii/) = o,
el la condition pour qu'elles soient orthogonales, par l'équation
Les formules (1 1)' nous conduisent immédiatement à l'identité
(l3) e2(çp,(j;)-4-A«(<p, tj;) = A'^ A'^.
On rencontre ici, pour la première fois, un fait qui se présente fréquemment dans les théories analogues. Les invariants que nous avons introduits ne sont pas distincts, et l'on pourrait exprimer 0((p, à) en fonction de A^, A*]/ et A(cp, <]>); mais l'expression ainsi obtenue serait irrationnelle, et l'on ne peut se dispenser de conserver 6, sauf à tenir compte de la relation (1 3).
674. Nous allons maintenant définir le paramètre différentiel du second ordre. Pour cela, nous considérerons avec M. Beltrami l'intégrale double
a = f f^i^, ^0 d<y = f fi^{^, ^)li du dv,
étendue à une portion simplement connexe de la surface, limitée par un contour (C). Si l'on pose
IVl = il -T- = ÇJ ,
I f\ .au
<'4) < do dcp '
IV o ^A(?,4^) dv du
dv
l'intégrale deviendra
LES PARAMÈTRES DIFFERENTIELS. 1 99
Écrivons-la sous la forme suivante
et appliquons la formule de Green à la première intégrale du second membre. Nous aurons évidemment
(,5) i2--^y<V(Mrfp-Nrf.O-;/^^^
rintégrale simple étant étendue au contour (G), parcouru dans un sens convenable.
Or, d'après la seconde formule (5) et d'après les valeurs de M et de N, on a évidemment
M di> — fi du =: — ds cos ( w — w' ) v'^,
10 et (xi' désignant les angles formés en chaque point avec l'axe des X du trièdre (T) par la tangente à la courbe (f = const. et la tangente au contour limite (G). Introduisons à la place de w' Tangle lù"
to = a> H ^
qui détermine la direction de la normale au contour, dirigée vers l'intérieur de l'aire. On aura alors
Mdv —^ du = — ds sin ( w" — w ) /Â^.
D'autre part, si l'on suppose que l'on parcoure un chemin infiniment petit 8/1 dans la direction de cette normale, la formule (6) nous fera connaître la dérivée de cp relative à ce déplacement
Nous aurons donc
— = Sin(w"— w)v/Acp.
M dv~Ndu=~^ds.
an
La formule (i5) prend alors la forme
OU encore
et, par suite, l'intégrale donble dn premier membre, qui s'exprime en fonction de quantités absolument indépendantes du. choix des axes, est un invariant. Il en sera évidemment de même de l'élément de cette intégrale; si donc nous posons
dM dN
ou, en développant lès calculs,
, , , i d } du dv ] i d \ dv du ('7^ ^'f'=Hd-u\ ^H hûfA ff
la fonctioa ^2^ sera un invariant, linéaire par rapport aux dérivées de çp, et la formule (17) pourra s'écrire sous la forme abrégée
(«8) Jjt,{^,^)da^--J'^-^^ds-JJ^^^^d^. -
Nous avons supposé que l'aire était limitée par un seul contour et que les dérivées de cp et t|^ étaient continues à l'intérieur de ce ^contour. Si nous avions à considérer une aire limitée par plusieurs contours, il suffirait de remplacer l'intégrale simple qui figure dans la formule par la somme des intégrales analogues relatives à tous les contours. Si les conditions de continuité cessent d'être réalisées pour des points ou pour des lignes, on entourera les régions oij se trouvent les discontinuités par des courbes que l'on joindra à celles qui limitent l'aire considérée. Nous n'insisterons pas sur toutes ces remarques qui ont déjà été présentées à propos du théorème de Green (n° 644).
675. Nos démonstrations supposent essentiellement le changement de variables réel; mais il est clair que les propriétés d'invariance subsistent même quand on emploie des coordonnées imaginaires. Il suffit, pour s'en rendre compte, de remarquer que les propositions établies sont susceptibles d'une vérification directe par le calcul algébrique, et il tombe sous le sens que cette véri-
LES PARAMETRES D rFFERENTI E LS. 201
fication est absolument indépendante de la réalité ou de l'imaginarité des variables ou des équations.
Une fois obtenus les deux invariants
Acp, Aacp,
on peut en déduire une foule d'autres
AAcp, A(cp, Acp), 0(cp, Acp), ....
Les trois invariants nouveaux que nous venons d'écrire sont tous les trois du second oindre. En voici d'autres du troisième
A A Acp, AA(cp,Acp), A6(cp, Acp), A.2Acp, AAgcp, ....
Nous verrons plus loin que les formations précédentes donnent tous les invariants; mais nous reconnaîtrons encore, dans l'étude d'un problème important, qu'elles ne les donnent pas toujours sous la forme la plus simple.
676. Avant d'aborder les théories générales qui reposent sur l'emploi des paramètres différentiels, nous allons montrer comment ils peuvent intervenir utilement dans l'étude de quelques questions particulières.
Considérons d'abord une surface rapportée à un système de coordonnées rectangulaires. Si le carré de Téiément linéaire est pris sous la forme
le raj'on de courbure géodésique des courbes t'— - const. est déterminé par la formule
i i dX
p ~ AG ^'
et il doit être porté, s'il est positif, du côté où ^ augmerite. Or on a
-*" ~ AG di> \g) ~ G3 â^ ~ Gp et, par conséquent,
