^GA,P

iOa tIVBB vil. — CHAPITRE I.

fiC

OU, en remplaçant j- et C par leurs valeurs tirées des relations précédentes,

Cette formule, ne contenant pi us que des invariants, sera applicable dans tous les cas. Par suite, le rayon de courbure géodésique d'une courbe représentée dans un système quelconque de coordonnées par l'équation

sera donné par la formule

r Aï© I A(cp, A'i)

P s/Acp -^

(AcdV

le sens positif du rayon étant celui pour lequel d'f est positif ('). On déduit de l'équation précédente que, si la famille de courbes ((p) est formée de lignes géodésiques, la fonction cp doit satisfaire à l'équation du second ordre

(20) A(<p, Acp) — 2AcpA2Cp=ro.

Supposons maintenant que l'on donne deux fonctions cp, ^ et que l'on demande de calculer l'accroissement de ^ quand on parcourt un chemin infiniment petit sur la courbe

const.

Les différentielles du^ dv relatives à ce déplacement ont été calculées plus haut; on a trouvé

du I ào dv I <^«p

Il viendra donc

d^ d^ du d^ dv Q(4^, y ) ^^9 ~ au ds dv ds J~^

(') Beltrami, rticerclie, art. XXI, et Mathemalische Annalen, t. I, p. 579.

LES PARAMÈTRKS DIFFÉRENTIELS. 2o3

Proposons-nous, par exemple, étant donnée une courbe (cp), de calculer la dérivée de la courbure géodésique par rapport à l'arc quand on se déplace sur cette courbe. On calculera p par la formule (19), et l'application de la formule précédente donnera ensuite

ds ^^jp

On calculerait de même les dérivées suivantes de p.

677. Soient maintenant (^ et ^ deux fonctions distinctes. Sup^ posons que l'on détermine un point de la surface par les valeurs de o et de t[/, le carré de l'élément linéaire prendra la forme^

ds^-= E df--^2Fd^d^-^G d^'^.

Il est aisé de voir que l'on pourra exprimer E, F, G en fonction des invariants du premier ordre de o et de ^. En effet, si l'on calcule ces invariants, on aura les trois équations

""f^EG—W^' ^1'=EG^.' ^^f'^^=ÏÏG^'' qui peuvent être résolues par rapport à E, F, G, et nous donnent

Acp A*]; — A2(tp, 4»)

AcpA^jy — A2(cp, i|^)'

-A(cp,4;)

Acp Atjy — A2(çp, tj;)

Le carré de l'élément linéaire aura donc pour expression

Atj; do'^ — 2A(cp, ^)<i«> d^ -h Acp d'\>^ ('12) ds'-= i AcpAtj; — A2(V^) '

le dénominateur, qui est @"(«f, ^), ne sera pas nul tant que les fonctions cp et tj/ seront distinctes.

Cette expression de l'élément linéaire va nous permettre d'établir une proposition que nous avons annoncée plus haut et de

montrer que tout invariant composé avec les coefficients E, F, G et leurs dérivées, (contenant d'ailleurs une ou plusieurs fonctions cp,(l», ... et leurs dérivées jusqu'à un ordre déterminé, peut être obtenu à l'aide des symboles A, 0 de M. Beltrami. Soit, en effet,

une telle fonction. Les coefficients E, F, G, nous venons de le voir, s'expriment d\ine manière simple au moyen des trois paramètres

Aw, Ap, A(w, p).

D'ailleurs, si X désigne une fonction quelconque, on a, d'après la définition même de l'invariant 0,

.|=He(X,..), t^ = H,ia,l).

Il suit de là que toutes les dérivées, et par suite l'invariant I, peuvent s'exprimer au moyen des symboles A, 0 appliqués un nombre suffisant de fois aux fonctions

u, V, cp, 4^,

Il suffît donc, pour démontrer immédiatement la proposition que nous avons en vue, de supposer que l'on a pris pour les variables u ei V deux des fonctions f , ^, ... qui entrent dans l'invariant.

S'il entre une seule fonction cp dans cet invariant, on pourra lui adjoindre et prendre pour d/ un de ses invariants, par exemple Acp ou A2'f . Tous les invariants d'une seule fonction peuvent donc être obtenus par l'emploi simultané et répété des opérations A et A2, appliquées à cette seule fonction.

678. Parmi les questions dont la solution peut être rendue plus facile par l'emploi des invariants, on peut encore signaler la suivante.

Supposons qu'étant donnée une surface, on propose de mettre son élément linéaire sous la forme

(•23) ds^=f{a)dp'^-^io(a)dpdg -h^{tx)dq^,

LKS PARAMÈTRES DIFFÉRENTIELS. 205

OÙ/, cp, 4* sont des fonctions données et connues de a, mais où xp el q sont trois fonctions à déterminer. On reconnaîtra immédiatement que, si l'élément linéaire est donné sous la forme

ds'^ = E du'^ -\- iV du dv -\- G dv-^

oLj p et q doivent satisfaire aux trois équations simultanées

du dv

(^^)^-/^«)|ë-^(»)(Ë£-IS)-^<^>'^'-^

dont l'intégration donnerait la solution complète du problème. La théorie des paramètres différentiels permet de former une équation du second ordre à laquelle satisfera l'une des inconnues /?, q et qui remplacera le système précédent.

On a, en effet, en prenant l'élément linéaire sous la forme (23),

ou, si Ton désigne le second membre par xC^)? (25) Ap = X(a).

11 vient ensuite, en regardant a comme exprimé en fonction de p et de q^

et enfin

/^ àOL

L'élimination de a, -;-", t- entre les (Quatre équations (20), (2())

el (27) conduira à une relation entre les invariants de/?, qui pourra ensuite être écrite avec des variables quelconques et sera pré-

cisément l'équation du second ordre cherchée- Le calcul se simplifie beaucoup si la fonction <p est nulle.

Comme première application, proposons-nous de ramener Télément linéaire à la forme

(28) ds^z:^ (i{dp^-^dq^).

Nous trouverons immédiatemeat que/? doit satisfaire à l'équation

A,jo = o.

Nous reviendrons plus loin (n** 681) sur ce résultat.

Envisageons maintenant la forme suivante dé l'élément linéaire

(29) ds^= cos'^ CL dp^-\-%\n^aLdq^ .

Elle correspond à une décamposition de la surface en rectangles infiniment petits dont les diagonales sont toutes égales ou, si Ton supprime les côtés de ces rectangles en laissant les diagonales, à une décomposition de la surface en losanges dont les côtés sont tous égaux. On a loi

I 2sina <)a 1 da

^ cos^a ^'^ -^ ^ cos^a dp sinacos*a dp

et, par suite,

(30) ^p, ^p)=2^ip{^p-l).

Telle est l'équation du second ordre dont dépendra la solution du problènje. Remarquons que, si l'on efTectue, dans la formule (29), là substitution linéaire

on obtient la forme

(3i) ds^=^ dp' ^-^- dq^^-\- 1 copiai dp' dq\

identique à celle que nous avons rencontrée dans l'étude du problème de M. Tchebycheff [p. iSa].

Nous étudierons enfin la forme suivante

(32) ds^=oidp^-^- dq\

qui se présente dans la théorie des Cartes géographiques, Si l'on

fait correspondre à chaque point de la surface le point du plan dont les coordonnées rectangulaires sont p et q^ on aura une représentation plane de la surface dans laquelle les aires seront conservées et, de plus, on pourra former un système orthogonal avec les courbes de la surface qui correspondent aux droites du plan parallèles aux axes coordonnées. On peut encore caractériser la forme précédente de l'élément linéaire en disant que la surface peut être partagée par les lignes coordonnées en rectangles qui ont tous la même surface. On a ici

■^ a ^' ^' afi dp ^ cl"' dp

ce qui donne pour/? l'équation

Dans le cas des surfaces développables, cette équation se transforme aisément en une de celles' que nous avons étudiées au Livre IV.

679. Nous indiquerons maintenant comment on calcule les invariants des fonctions les plus simples. Signalons tout d'abord les formules suivantes que le leçleur établira aisément

les termes non écrits se déduisant de ceux qui figurent dans les seconds membres par de simples permutations. Ces identités permettent de calculer les invariants des fonctions composées quand on connaît ceux des fonctions simples a, [3, ....

Supposons la surface rapportée à ses lignes de courbure ; désignons par x, y, z les coordonnées du point de la surface par rapport à des axes fixes et par a, a', a"] b, b' , b" \ c, c\ c" les neuf cosinus qui déterminent la position du trièdre (T) par rapport au\

208 LIVRK VII. — CHAPITRE

axes. On aura, comme on sait,

I dx

I dz

I dx G ^ = ^'

— H-R — du du

du du

dz ^ de"

du du '

dx de dv dv

dv dv

dz ^,de"

dv dv '

loules les notations du Tableau V [II, p. 386] étant conservées. Ces formules permettent de calculer les valeurs suivantes des invariants:

Aa? = 1 — c2,

Mc,e')=-^y+-^:

ha' ah' ~K ~ R'

Introduisons maintenant les distances de l'origine au plan tangent et aux plans principaux : si nous les désignons respectivement par P, Q, Q', on aura

/ P = ca? -+- c' y H-- d' z^

(38) I Q = aa? H- a> -I- «"z,

L'application des équations (34) et (87) nous donnera

aO 60'

Dans ces formules figurent seulement les invariants du premier

ordre. Pour calculer les paramètres différentiels du second ordre, il faut se rappeler que les dérivées premières des neuf cosinus peuvent s'exprimer en fonction de ces cosinus et des rotations dont les valeurs ont été déjà données au Tableau V. On a, par exemple,

^^~ AG du\A du)^ AG di^\C dv )

OU, en remplaçant les rotations par leurs valeurs et faisant les réductions,

Cette remarquable formule, signalée depuis longtemps par M. Beltrami, montre que, dans les surfaces minima, toutes les sections par des plans parallèles forment une famille isotherme (n° 209). On trouvera de môme

(4.)JA,P=-(l.-i,)-p(i, + J^)

-<ÎÂiïï(É+F)-Q'ci(ïï-^p)-

Si l'on applique maintenant les formules générales (34), on obtiendra les deux relations

Le carré qui figure dans la dernière est purement symbolique, c'est-à-dire qu'après l'avoir effectué, on devra remplacer les

produits tels que 3- x ,— par une dérivée seconde ^-^- • Ces deux ^ ^ ox ay ^ oxay

formules sont dues encore à M. Beltrami.

Si l*on prend

on en déduit

/ Ao) = 20) — P*,

j.....*p(l^ll,).

On trouvera encore

680. Pour compléter cette étude rapide, il nous reste à montrer comment l'invariant linéaire du second ordre intervient, soit dans la théorie des systèmes isothermes et de la représentation conforme, soit dans l'examen d'une question très intéressante qui a été abordée pour la première fois par M. Beltrami (^), mais qui a été, dans ces derniers temps, l'objet d'études approfondies de la part de M. Klein (2).

Etant donné un plan, pour lequel le carré de l'élément linéaire est défini par la formule

on sait qu'une fonction d'une variable imaginaire est, par définition, celle dont la différentielle est le produit d'une fonction quelconque par l'un des facteurs linéaires de ds^y c'est-à-dire celle pour laquelle on a

du = M{dx-^ f-dy).

Étant donnée de même une surface quelconque réelle dont l'élément linéaire aura pour expression

ds'^ = E du^ -{- 2F du dv -h G du^y Il et V étant des variables réelles, nous décomposerons ds'^ en

(') Voir le Mémoire, cité plus haut, des Annali di Matematica. (') Klein (F.), Ueber Jiiemann's Théorie der algebraischen Func'tionen uiid ilirer Intégrale. Leipzig, 18H2.

LES PARAMÈTRES DIFFERENTIELS. 21

deux, facteurs

H désignant comme d'habitude le radical y/EG — F^. Une fonction complexe ù du point (w, v) de la surface sera celle qui satisfera à l'équation

(45) dQ = m(^Ëdu-^ ^ '^1^ dv\

par conséquent, si l'on désigne par x le fadteur réel ou imaginaire qui fait de l'ex^pression

■/.{ \/Edu-\ — — dv \

une difFérentielle exacte, et si l'on pose

( 46 ) X ( /Ë <ia H — - dv\ — dx -^ i dy,

on voit que Q sera une fonction de la variable complexe x ■+■ iy. Si, dans l'équation précédente, on change f en — i et si l'on désigne par x' la fonction conjuguée de x, on aura

(47) x'i/ËûTwH j=^dv\ = dx ~ idy,

et, en multipliant membre à membre les équations précédentes, on trouvera

Cette équation nous montre que x et j^ sont deux fonctions isothermes conjuguées. On le voit donc, dès que la surface est rapportée à un système isotherme, la définition d'une fonction complexe sur la surface devient. identique à celle que l'on prend pour point de départ dans la représentation de la variable complexe sur le plan. En d'autres termes, dès que l'on connaît une représentation conforme de la surface sur le plan, les fonctions complexes du point de la surface sont identiques aux fonctions complexes du point correspondant dans le plan.

Réciproquement, supposons que l'on ait obtenu par un procédé quelconque une fonction ù

û = P + tQ

satisfaisant à l'équation (45). En changeant i en — i dans cette équation et désignant par Ù' l'imaginaire conjuguée de ù, on aura

(49) dQ'=M'f)/Êdu-i-'^-^jJ^di>\ et, par suite,

(50) dQ dQ' = MM' ds^ = dP^-^dQ^.

Ainsi la connaissance d'une fonction complexe, d'ailleurs quelconque, permettra d'effectuer la représentation conforme de la surface sur le plan.

11 résulte immédiatement de la formule (5o) que, si l'on connaît deux fonctions complexes sur deux surfaces différentes, on réalisera une représentation conforme des surfaces l'une sur l'autre en faisant correspondre les points pour lesquels les fonctions ont la même valeur^ car, si l'on désigne par d's' l'élément linéaire de là seconde surface et par N, JN' les quantités analogues à M, M', on aura, pour les éléments correspondants,

MM' ds^ = NN' ds'i = dQ dQ',

ce qui démontre la proposition. Ce résultat, qui a été signalé particulièrement par M. Klein, comprend en particulier, ou plutôt présente sous une forme nouvelle ceux qui ont été déjà donnés (Livre U, Chap. III).

681. Il nous reste maintenant à mettre en évidence les rapports de la théorie précédente avec les invariants. Pour cela, nous allons chercher les équations qui définissent les fonctions complexes, quand le système de coordonnées est quelconque. L'équation (4^) nous donne \

— = M /E, 3- = M — -— - y du " dv ^

et Télimination de M conduit à l'équation

LES PARAMÈTRES DIFFÉRENTIELS. 2l3

qui caractérise les fondions complexes. On peut encore Fécrire sous la forme équivalente

11 résulte immédiatement de ces équations que la fonction ù satisfait à l'équation

(53) AÛ = o.

Réciproquement, si une fonction Q a son premier invariant nul, elle satisfait, soit à l'équation (oi), soit à celle qu'on en déduit par le changement de signe de H; en d'autres termes, elle est fonction de l'une des variables déjà employées x + iy^ x — iy.

On vérifiera également, par un calcul facile, que Q satisfait à l'équation

(54) AaO^o.

Etudions maintenant la relation entre la partie réelle P et la partie imaginaire Q de Q.

L'équation (53) développée

o = AQ = AP — AQ-f-'2iA(P, Q) nous donne

AP = AQ, A(P, Q) = o.

Ces relations entre les invariants de P et de Q montrent que les courbes obtenues en égalant à des constantes la partie réelle et la partie imaginaire de Q se coupent à angle droit. Ce résultat pouvait être prévu : il est une conséquence de l'équation (5o). D'autre part, si, dans les équations (5i) et (62), nous séparons les. parties réelles et les parties imaginaires, nous obtiendrons les deux systèmes équivalents

du ~

F dV

~ H dw

E aP ~ H d^'

G dV

F dV

~ n du'

H dv '

E dq

'du "

' H dv '

H du'

dv "

F dq ~ n dv '

G dq

H du'-

2l4 LIVRE VII. — CHAPITRE I.

L'élimination de P entre les deux premières équations ou de Q entre les deux dernières nous montre que P et Q sont des solutions de l'équation

(57) AaÔ-o,

ce qui d'ailleurs résultait déjà de l'équation (54).

Réciproquement, toutes les fois que l'on connaîtra une solution quelconque 8 = Q de l'équation (07), les formules (56) nous permettront de déterminer par une quadrature une fonction P, ce qui donnera une fonction complexe Q =: P -t- iQ du point sur la surface. On peut donc énoncer la proposition suivante: La solution réelle la plus générale de V équation (5^) est fournie par la partie réelle ou par la partie imaginaire dhine fonction complexe du point sur la surface. Par suite, si l'élément linéaire peut être ramené à la forme

la solution la plus générale de l'équation (57) est

C'est d'ailleurs ce que l'on reconnaît immédiaternent en profitant des propriétés d'invariance de l'équation (j5) et l'écrivant avec les variables x<, y\ car elle prend alors la forme simple

682. M. Beltrami a montré comment on peut rattacher à sa théorie là proposition que nous devons à Gauss relativement à la courbure totale. Soient, conformément aux notations employées plus haut, X et x' deux facteurs qui fassent des expressions

yt.1 sfËdu-^ ^~ dv \ ,

yCH JËdu-\- ~1 dç

des différentielles exactes d(^x -^ iy) et d^x — iy). Les facteurs

LES PARAMÈTRES DIFFERENTIELS. 2l5

les plus généraux ayant la même propriété seront respectivement

x<p(:r-f-i>), 'a' 'ijix — iy),

cp et tj^ désignant des fonctions quelconques; de sorte que si l'on veut ramener ds"^ à la forme

ds'2=ldoLd'^, la valeur la plus générale de X sera

xx' cp (37 -+- iy)^{x — iy)

Par conséquent, pour tous les systèmes de coordonnées et pour toutes les valeurs possibles de x et de x', là fonction

Aa log -— = Aa logy/xx'

aura toujours la même valeur. ISous obtenons ainsi un invariant : on peut le calculer comme il suit. La fonction x doit satisfaire à l'équation

■ à{Y.\fÊ) d x(F-htH) dv ~ du ^ qui donne

<)logx „^logx ()lo^x ,- d F-v-in i dE

ov au ou Ou y/Ë 2 osf