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En multipliant par — ^ — , on aura de même

aiogx ^<)logx dlogx ¥ — m d¥ ^in Y^^iRdE

Ov du ~ dv J^ du J^ 2E dv

En se servant de ces deux relations pour calculer Ao logx, on obtient immédiatement ce résultat

- 1 A/ il^g^ ^ F - i\\ dE F — tH d^ F + ?H ^^°^~HdM(^ ^ dv "^ 2EH dv h/Ë ^" V^Ë

I d f .dlo^'A yjE d ¥ ^m \ dE

]\ dvV du ' U du /Ë iH ôv

2l6 LIVRE VII. — CHAPITRE I.

OÙ X s'élimine de lui-même. Si l'on change i en — i, x en x' et que l'on ajoute l'équation obtenue à la précédente, on trouve, en divisant par 2 et en réduisant,

, , /— , \ d f I (JG ^ F dE\

D'après la manière même dont nous l'avons obtenu, cet invariant doit s'annuler dans le cas où l'élément linéaire est réductible

à la forme

ds"' — dx'^ -^ dy'^ ,

et dans ce cas seulement. D'ailleurs, on reconnaîtra aisément, en le comparant à la formule (16) [II, p. 364], qu'il est identique à la courbure totale. Mais on peut aussi établir ce dernier résultat directement en le déduisant des propriétés mêmes d'invariance que nous avons signalées.

Supposons, en effet, que l'on veuille calculer la valeur de l'invariant pour un point M. Prenons pour axes des x et des y les tangentes principales en ce point. Si R et R' sont les rayons de courbure principaux en ce point, l'équation de la surface dans le voisinage de M sera

On aura, en choisissant x et^ comme coordonnées curvilignes d'un point de la surface,

Si Ton. porte ces valeurs de E, F, G dans la formule (58) et si

l'on remarque que, pour x =3^=0, ■ est la seule des dérivées

premières et secondes de E, F, G qui ne soit pas nulle, on trouvera, pour le point M,

(61) Aslog^/xx^^^.

LKS PARAMÈTRES DIFFÉRENTIELS. 217

Tel est le résultat établi par M. Beltrami. Les considérations par lesquelles on le démontre ne diffèrent pas essentiellement de celles que M. O. Bonnet a développées dans le Mémoire sur la théorie des surfaces applicables, inséré au XLP Cahier du Journal de l^ Ecole Polytechnique.

21Ô LIVRE Vil. — CHAPITRE II.