Soit, en conséquence

(42) f{p) = l ^ mp -h np^^ pp^-^ qp'*.

En portant les valeurs de R et de R, dans l'expression de la courbure, on trouvera

(ppi)-

II suffira donc, pour avoir la solution de la question proposée,

de faire

c'csl-à-dire de prendre pour/fp) un polvnôme du troisième degré seulement. xMais alors l'élément linéaire |uciidra la forme

/M 7 0 A 9 dp- 9\dp\ i 4^ ^ <h'- = ( p — pi ) "-—^ L

([ui convient aux Surfaces du second degré (n" 504). De plus,

SOLUTION d'l X PROBLÈME FONDAMENTAL. 239

l'équation différentielle

dz do,

s/Jïy) ~ //(pi)

qui, diaprés les formules (34), définit les deux familles de courbes (.' = const., (-'=const.,

est précisément celle des lignes asymptotiques, c'est-à-dire des génératrices rectilignes de la surface. Ainsi :

foutes les fois que deux surfaces réglées sont applicables Vune sur Vautre sans que leurs génératrices coïncident , elles sont applicables sur une même surface du second degré de telle manière que leurs génératrices rectilignes correspondent respectivement aux deux systèmes de génératrices rectilignes de cette surface.

On peut, il est vrai, adresser une objection à l'analyse précédente. En prenant A et B pour variables indépendantes, nous avons exclu le cas où l'une de ces fonctions se réduirait à une constante. Mais l'examen de ce cas spécial n'offre aucune difficulté et n'infirme en rien la proposition précédente. Si A, par exemple, se réduit à une constante, la forme (3i) de l'élément linéaire est celle qui convient aux surfaces de révolution. Les deux surfaces réglées qui sont applicables Tune sur l'autre auront donc leur élément linéaire défini par l'une des formules (27). Nous laissons au lecteur le soin d'examiner en détail ce cas particulier qui le conduira seulement aux surfaces applicables sur les surfaces de révolution du second degré.

697. ]\ous donnerons plus loin une démonstration nouvelle et plus simple de la proposition que nous venons d'établir et qui est due à M. O. Bonnet ('). Si nous avons rapporté la pjécédente, c'est qu'elle conduit à un résultat qui nous paraît mériter d'être signalé/ Nous avons vu- que, si l'on prend pour R et R, les valeurs

(') On en trouvera deux démonstrations différentes dans le Mémoire sur les surfaces applicables de M. O. Bonnet {Journal de l'École Polytechnique^ \LII* Cahier, p. 44 et suiv.: 1S67).

Ho LIVRE VII. — CHAPITRE IL

les plus générales

P pi

/(p) étant le polynôme défini par l'équation (4-'^), la courbure est une fonction de pp, donnée par l'équation (43). Si l'on prend les valeurs de u^ p', i/', v' définies par les équations (34), félément linéaire de la surface pourra être ramené à Tune des formes

D'après l'expression même de la courbure et la formule (43), la fonction g^\ exprimée en u et ç, devra satisfaire à l'équation

et de même, considérée. comme dépendante de u' et de ç\ elle satisfera à l'équation

L'équation (46)? par exemple, s'intègre' aisément et nous donne

^•2 r= V cos U y/ — q H- Vj si n a y/ — «y -l- Y,,

V, V|, A' 2 étant des fonctions de p assujetties à vérifier la relation

On peut évidemment, en remplaçant ç par une fonction de c, supprimer cette dernière condition^ de sorte que l'on est conduit à considérer des surfaces dont l'élément linéaire est exprimé par la formule générale

( 48 ) ds^ = du^ -^ (^ V cos au -t- V^ si n au ■+■ V., ) dv^,

où a désigne une constante quelconque et V, V,, V2 des fonctions arbitraires de w.

Cetteforme de l'élément linéaire, que nous rencontrons pour la première fois, comprend comme cas particulier celle qui con-

SOLUTION d'un problème FONDAMENTAL. 24l

vient aux surfaces réglées. 11 suffît, pour le reconnaître, de développer suivant les puissances de u et de faire tendre a vers zéro, en supposant que les trois premiers coefficients (de w^, w, et u-) demeurent des fonctions fîmes et déterminées de v. Si Ton a, entre les fonctions V, la relation

on retrouve l'élément linéaire d'une surface à courbure constante; car on peut exprimer l'élément linéaire comme il suit

, , /,, au ,, . au\^ j

2 — du^ H- f V 3 cos — h V4 sin — j di>,

V3 el V', désignant des fonctions de i^ Ainsi, de même que les surfaces réglées peuvent se réduire aux surfaces développables, dont la courbure totale est nulle, les surfaces dont l'élément linéaire est défini par la formule (48) comprennent comme cas particulier celles dont la courbure totale est constante.

L'analogie se complète encore par la proposition que nous rencontrons ici : parmi ces surfaces nouvelles, il y en a une qui admet en quelque sorte un double mode de génération, c'est-à-dire dont l'élément linéaire est réductible de deux manières différentes à la forme (48). C'est celle dont l'élément linéaire, exprimé en fonction des variables p et p,, est défini par l'équation (44) où Ton supposera que /{^) désigne maintenant un poljnôme du quatrième degré.

11 y aurait sans doute intérêt à trouver, en termes finis, les équations d'une ou de plusieurs surfaces admettant l'élément linéaire (48); mais nous aurons à revenir sur cette question, pour la considérer à un tout autre point de vue, dans l'étude de la géométrie non euclidienne.

D.-ni. iG

24*2 LIVRE Vil. — CHAPITRE III.