h d = const., 6 — a= const

et, par suite, elles pourront être regardées d'une infinité de manières comme des coniques géodésiques.

La proposition que nous venons d'établir offre le plus grand intérêt : elle fait connaître la véritable origine des théorèmes de Graves et de M. Ghasles sur les arcs de eoniques à différence rectifiable et elle permet d'étendre ces théorèmes à toutes les surfaces dont l'élément linéaire est donné par la formule de M. Liouville.

Pour meltre celle analogie en évidence, remarquons que, si l'on attribua à la constante a une valeur déterminée dans les formules (59), les géodésiques normales aux courbes parallèles

0 = COnSt. ou <T = COI15t.

sont définies par l'équation

\5^du ^ Vi dv (60)

obtenue en différentiant par rap{>ort à a la valeur de 8 ou de o- (n® 532). Il passe deux de ces lignes par chaque point de la surface et elles j font des angles égaux avec les deux courbes coordonnées. On peut définir géométriquement celte famille de géodésiques de la manière suivante :

Supposons d'abord que la constante a ait été choisie de telle manière que l'une des deux équations

(61) XS—a — o, V — a = o,

la première par exemple, admette une ou plusieurs racines réelles. Soit Wo une de ces racines; pour m = Mo, l'équation différentielle

donne

du = o ;

et, par suite, les géodésiques qui correspondent à la valeur considérée de a sont toutes tangentes à la courbe coordonnée de paramètre Uq. Cette propriété géométrique suffira évidemment à définir l'ensemble de toutes ces géodésiques.

Pour certaines surfaces, telles que l'ellipsoïde ou le plan, l'une des équations (61) admettra toujours une solution réelle; et toutes les familles réelles définies par l'équation (60) seront alors composées de géodésiques tangentes à une des courbes coordonnées. Mais il existe d'autres surfaces pour lesquelles les valeurs de la constante a peuvent être choisies de telle manière qu'aucune des équations (61) n'admette de solution réelle. Envisageons, par exemple, la formule particulière suivante

(62) ds^={u^-hv^~hh'^){du'^-i-dv*); l'équation des lignes géodésiques sera ici

//.«x du , dif

DETJIJUMIT^ATION DES GEODESIQUES- 21

el, poux toutes les valeurs de a positives et inférieures à A-, il n'y aura aucune valeur réelle de w ou de (^ annulant un des dénominateurs. Les lignes géodésiques correspondantes seront réelles, mais elles ne seront tangentes à aucune courbe coordonnée. Nous ramènerons ce cas au précédent en convenant de regarder les géodésiques comme tangentes à une courbe coordonnée imaginaire. En adoptant cette convention, on peut énoncer le résultat suivant.

Les courbes parallèles définies par les équations

!e = / Ui y/U -a dii-\- j Vi /a— Y dv — consU, - r

<j = / Ui v^U — a du — / Vi ^a — V dv —. const.

sont les développantes de celle des courbes coordonnées dont le paramètre satisfait à la relation

et la proposition que nous avons établie plus baxit peut s*énoncer conune il suit :

Les courbes coordonnées peuvent être regardées comme des coniques géodésiques lorsqu'on prend pour courbes de bases deilx développantes (C), {C!) de V une quelconque d^ entre elles.

Pour faire dériver de cette remarque le théorème de Graves et de M. Chasles, il suffît de la combiner avec les propriétés des développées. Considérons, par exemple, les géodésiques tang-entes à une des courbes coordonnées (wo) {fig- 38) et soient (G), (G) deux développantes de cette courbe, la coupant à angle droit en R et en R'. Soient PQ, P^Q' deux géodésiques se coupant en M. D'après la proposition précédente, la somme

MQ-4-MQ'

demeurera constante lorsqu'on se déplacera sur une des deux courbes coordonnées qui passent en M. Or on a, d'après les pro priétés des développées,

PR = MP -+- MQ, P' R' = MF-+- JVTQ'