LE$ FORMULES DE GAUSS

Étude du commencement du Mémoire de Gauss. — Introduction des déterminants D, D', D". — Expression de DD" — D'* en fonction des coefficients qui entrent dans l'élément linéaire et de leurs dérivées. — Relations différentielles entre D, D', D" et les coefficients de l'élément linéaire. — Rapprochement avec les formules de M. Codazzi. — Équations différentielles des lignes asymptotiques, des lignes de courbure, équation aux rayons de courbure principaux écrites au moyen des quantités D, D', D". — Équations aux dérivées partielles du second ordre auxquelles satisfont les coordonnées rectangulaires d'un point de la surface, lorsqu'on connaît D, D', D". — Équation aux dérivées partielles qui détermine les surfaces admettant un élément linéaire donné. — Les caractéristiques de cette équation sont les lignes asymptotiques de la surface.

698. Après avoir indiqué les méthodes qui permettent de reconnaître si deux surfaces données sont applicables l'une sur l'autre, nous allons étudier une question non moins importante, et nous nous proposerons de déterminer toutes les surfaces ayant un élément linéaire donné ou applicables sur une surface donnée. Cette question, mise au concours en 1869 par l'Académie des Sciences, a été l'objet de nombreux et importants travaux que nous avons déjà cités (/). Il est curieux toutefois de remarquer qu'une étude attentive du Mémoire de Gauss devait conduire presque immédiatement et sans effort à l'équation aux dérivées partielles du second ordre des surfaces applicables sur une surface donnée. Nous allons étudier avec les détails nécessaires la belle

(') BouK (E.), Théorie de la déformation des surfaces {Journal de l'École Polytechnique, XXXIX= Cahier, 1862).

Bonnet (0.), Mémoire sur la théorie des surfaces applicables sur une surface donnée {Journal de l'École Polytechnique, XLP et XLII« Cahier, i865).

Codazzi (D.), Mémoire relatif à l'application des surfaces les unes sur les autres, envoyé au Concours ouvert sur cette question, en iSSg, par l'Académie des Sciences, déjà cité et analysé [II, p. 369].