LES FORMULES DE KJAUSS

méthode de Gauss; il nous suffira d'ajouter quelques relations nouvelles pour obtenir un ensemble tout à fait équivalent aux formules de M. Codazzi.

■ Considérons la surface dont l'élément linéaire est défini par la relation

([) ds^=Edu''-+i¥ cludv -^Odv^-.

A l'exemple de Lamé, désignons par le signe S une somme étendue à trois termes jouant le même rôle par rapport aux trois axes coordonnés. Si ir, jr, z sont les coordonnées rectangulaires du point [u^ P') de la surface, nous aurons

s(^:^>^• s:-:£=^- my-^'

et ces trois équations définissent complètement les relations qui existent entre les coordonnées rectangulaires et les coordonnées curvilignes d'un point quelconque de la surface.

Introduisons les cosinus directeurs de la normale en ce point. Si l'on pose, pour abréger,

(3) ' H r= y^EG - F2,

on aura, en désignant par c, c\ c" ces cosinus,

1 diy. z) ~ H â{u, ç)'

et aussi

^ dx O Ox

En différentiant successivement ces deux, dernières relations, on trouve

ôc dx C^ d''-x C\ àc ôx O ^^'^

Sôc dx Q d'-x Q ôc ôx n

d7f dû ~ ~ i^'^ dû^ ' \y ôv d~u ~ ~ O

ôii dv d-x O dr dx r\ d'^x

Sôc dx r\ d-x r\ de ôx r\ d^x

du ÔK- ~^ i^ duOv^ ^ ov dv ~ kj ' dv-

Pvemplaçons dans les seconds membres c, c\ c" par leurs valeurs

tirées des formules (4) et posons, pour abréger,

du^

d\y du^

d-^z du^

d-'x du dv

dudv

d^z du dv

\d'^x 1 dv^'

d^jr

dv^

d^-z dv^

dx du

dz dît

dx dû

d y du

dz du

.| du

dy du

dz du

dx d^

dz dv

dx dv

dy dv

1 dv

dz 7h'

Nous pourrons écrire

de dx du du ~

r^ de dx ^ dv dv ~

Sde dx Q de dx D' dû dv ~ ï^dv du '^ B

Ces relations vont nous permettre de déterminer les dérivées premières de c, c' , d' en fonction des dérivées premières de x,y, z etdeD, D',D".

Remarquons d'abord qu'en tenant compte de l'identité

on peut poser

du de

,dc' ,, de" du du

de'

dx dx

dv dy

^ m - — ^ ri^j du du dv

de dz

du du dv

m et n étant deux coefficients à déterminer. On pourra de même, en introduisant deux inconnues nouvelles, écrire

de ,dx , dx

— =1 7?l h fl -r ■>

dv du dv

de ,dy ,dy

dv dx dv

de" , dz , dz

— ^ m —- -^ n —• dv' du dv

Si l'on substitue ces valeurs des dérivées de c, c', c" dans les