LES FORMULES I>E GAUSS

Ainsi se trouve établi le résultat important que nous avions annoncé; le second membre ne contient absolument que les coefficients qui figurent dans l'élément linéaire et leurs dérivées.

700. Les relations précédentes constituent tout ce que l'on doit à Gauss dans cette partie de la théorie. Celles que nous allons ajouter et qui s'en déduisent immédiatement tiennent lieu des formules de M. Codaijzi.

Différentions la première des équations (8) par rapj)ort à t^, la première des équations (9) par rapport k u et égalons les deux

d^ c valeurs de ^ — r- que l'on obtient de cette manière. Nous aurons

du Ov dv^ da^

dx / dm dm' \ dx / dn du' du \ di> du 1 dv \ dv du

Cette équation est encore vérifiée quand on y remplace x parj^ et par z. Ajoutons les trois équations ainsi obtenues après les avoir

multipliées respectivement d'abord par y-? ;p' y-j ensuite par —,

-p, — ; nous aurons, en tenant compte des formulas (2), (i^),

(.5)et(>6),

P / dm dm' \ / dn dn'

\dv Ou ) \dv du

m — n' d 0 n d(^ , f d¥ \ dE\

1 du 1 dç \du' -1 dv )

dm dm'\ p /^^ ^'^' dv du J \dc> du

Si l'on rapproche ces deux formules des équations (12) et (i3) et si l'on remarque que DD" — D'^ dépend seulement des coefficients de l'élément linéaire et de leurs dérivées, on aura constitué un système de quatre équations qui serviront à déterminer les inconnues m, n^m', n' quand l'élément linéaire sera seul connu.

Ce système peut être remplacé par le suivant. Substituons aux quantités w, n, m', n' leurs expressions en fonction de D, D', D"

données par les formules (m). Après un calcul facile, qui peut même être beaucoup abrégé si l'on tient compte des relations (lo), on obtient, à la place des deux équations (^3), les suivantes :

au I

\ou o»p / \i dv dv ov 'X

dv ou Ou

•2 OV OU 1 Ou J

i \ dv Ou J \i du Ov 1 Ov J

^D-fiof +Ef-Ff-iF^^) = o.

^ \i Ou du Ou 2 dv f

Ces deux équations aux dérivées partielles, jointes à la relation (21),. serviront à la détermination de D, D', D'' quand on cpnnaîtra les coefficients E, F, G de l'élément linéaire.

Si nous nous reportons au n" 503 [II, p. 878], nous reconnaîtrons aisément que le système précédent, formé par les équations (21), (24) et (25), est tout à fait l'équivalent des formules données par M. Codazzi. Il résulte, en effet, des formules (44) [II, p. 379] que les rotations du trièdre (T) peuvent s'exprimer linéairement en fonction des trois déterminants D, D', D'^ Une transformation très simple rattache donc le système précédent à celui que nous avons développé dans les premiers Chapitres du Livre V.

701 . La remarque précédente permet de prévoir que l'on pourra obtenir tous les éléments relatifs à la courbure en introduisant seulement les quantités D, D', D". Cherchons d'abord les lignes asymptotiques. L'identité

de dx -\- de' dy -f- de" dz = — ed^x — e'd^y — e" d^ z . nous donnera, à l'aide des formules (8) et (9),

(26) ^dcdx^ - ^{'Ùdu''^i\i' dudv-^li" dv-^);

tES FORMULES DE G4USS. ^49

et, par conséquent, i'équation cherchée sera (27) Ddu^-^Q.D' dudv-^D" di^^= o.

<Ilonsidérons maintenant les lignes de courbure et employons les équations d'OIinde Rodrigues

dx -h^dc — o, dy -hHdc' = o, dz -+-R de" = o.

Si on les ajoute, après les avoir multipliées successivement par

dx dy dz dx dy dz , • 1

— -> f^j T- et par -r-, -~, -- . on obtient le système suivant :

du au au ^ av av av -^

Edu^Y dv— ^{Ddu -^-D' dv)r=o,

¥ du -^ G di> — ~ {D' du -V- D" dv) -= o.

L'élimination de -y- nous conduit à l'équation aux rayons de courbure principaux, (29) (DD"- D'2)R2- RH(GD - 2FD'-f- ED") ^ H* = o.

Cette équation contient le théorème de Gauss; car on en déduis, pour la courbure totale, l'expression

qui ne dépend, nous l'avons vu, que de Télément linéaire.

Si l'on élimine R entre les équations (28), on obtiendra l'équation différentielle des lignes de courbure sous la forme

(30 (FD - ED') du'^^ (GD — ED") du dv -+- ( GD'~ FD") dv-^ - o.

Enfin la représentation sphérique de^ la surface sera donnée par la formule

do^ = de- -4- dc"^ + dd'^

o ^ ] = r,^(D<:/w-+- D'^t')2 - ^(D^a-+-DVp)(D'€^M -+-D"arp)

^(D'^M-^D"ârp)2.

702. Il nous reste maintenant à indiquer comment on résoudra la question suivante : Etant données les valeurs de D. D', D'^ en

25o LIVRE Vil. — CfiAJ>ITT\E III.

fonction de w-et de t^, déterminer la surface, c'est-à-dire trouver les valeurs de ^, JK, z. La solution se préseirte ici sous une forme moins simple et moins symétrique que lorsqu'on emploie les formules de M. Codazzi. Cependant, on trouVe encore dans le Mémoire de Gauss un système de formules qui peut conduire au résultat que nous avons en vue.

Il est aisé de reconnaître que les équations déjà obtenues permettent, lorsqu'on connaît D, D', D^', d'exprimer les dérivées secondes de x^ jk, s en fonction des dérivées premières. Si l'on reprend, en effet, l'expression de c, on aura évidemment

\àa ô\^ dç Ou J

\\ou J \du I \\\ dv ) \àv I \ \du dv du dv I

-[--mV'-m'H'-m'-

c'est-à-dire

Ajc désignant l'invariant du premier ordre de ^. En portant cette valeur de c dans les deux premières équations des systèmes (8) et (9), on aura deux équations qui contiendront les dérivées secondes de X. On les adjoindra à la relation (22) pour tirer de ces trois équations les trois dérivées secondes àex. Au reste, on peut obtenir le même résultat d'une manière plus élégante.

Remarquons, en effet, qu'on peut toujours trouver trois quantités A, B, C permettant d'écrire les relations

d'^x . ^dx ^dx

ou^ Ou av

(34) {f-^=Ac-.B^-*-C^, ^ ^ du^ du dv

d^z . „ ^dz ^dz ^> =^'^^du-^^d-,'

car ces équations, considérées comme devant déterminer A, B, C,

ont leur déterminant différent de zéro.

Si on les ajoute, après les avoir multipliées respectivement par

, V . dx dy dz ^ f. dx dy dz i^- j

C, C, C , puis par 3-? -f ? — ? et eniin par--, —^ —7 on obtiendra T ^ T r ^ du du du ^ di> d<^ dv

les relations