AG — B2— AD

ce qui donnera la valeur de H. Alors l'équation (8) pourra être jointe auK deux, premières du système (j) et, en résolvant ces équations du premier degré, on trouvera

T> Tf

ô'i = Dai -f- Y <^'i + T (<^2<^3 — ^3^2)1 R TT

de sQrte que 6i, 62, 63 s'obtiendront par de simples quadratures. Les formules précédentes appellent plusieurs remarques.

729. D'abord il résulte des propositions établies au Chapitr.e précédent qu'en laissant de côté le cas spécial, dont l'examen n'offre d'ailleurs aucune difficulté, où l'élément linéaire conviendrait à une surface du second degré, les formules (10) donnent bien toutes les surfaces réglées admettant Vêlement linéaire donné.

En second lieu, le cône directeur de la surface pourra être choisi arbitrairement. En effet, soient donnés a^, «2, ci^ en fonction d'une variable t^ satisfaisant à la première équation (6). La seconde nous donnera une équation de la forme

U{t)dt = kdv,

qui fera connaître t par une quadrature. Il y aura une infinité de solutions distinctes, à moins que le cône directeur ne soit de révolution ou ne se réduise à un plan.

Quelques considérations géométriques expliqueront assez bien le résultat précédent. Traçons sur une surface réglée (R) des génératrices rectilignes infiniment voisines (di), (d2)^ (d^)^ ...; considérons comme rigides les parties de la surface comprises entre les génératrices consécutives (<i/i ), (<a?/), mais en admettant

que, des deux parties séparées par une génératrice («?/), l'une ipuisse tourner, tout d'une pièce, autour de {di) comme charnière sans entraîner l'autre. Soit, d'autre part, (C) un cône donné et soit (6<) une de ses génératrices, choisie arbitrairement. Par un mouvement d'ensemble de la surface gauche, amenons [d^ ), à être parallèle à (S,). Faisons ensuite tourner toute la partie de la surface située du même côté que {d^) par rapport à {d^)^ jusqu'à ce que {d^,) devienne parallèle à une des génératrices du cône (G), et soit (82) cette génératrice. Recommençant de même pour («^2)1 on pourra, en faisant tourner toute la partie de la surface qui est du côté de {d^)^ amener cette droite [d^) à devenir parallèle à une génératrice (83) de (G); et ainsi de suite. La nouvelle forme ainsi obtenue de la surface gauche dépendra, en général, du choix de la génératrice initiale (84) qui n'est assujetti à aucune condition.

730. Les formules (10) prêtent encore à une remarque très intéressante, qui a été signalée rapidement par M. Beltrami (*), mais sur laquelle il convient d'insister. Elles contiennent une quantité H dont le carré àeul est défini par l'équation (9) et qui, par suite, peut être prise avec un double signe.

// existe donc toujours deux surfaces réglées applicables l'une sur l'autre et dans lesquelles les génératrices correspondantes sont parallèles et de même sens,

Gonsidérons, par exemple, l'hyperboloïde de révolution défini par l'équation

On peut prendre ici

- = — cosi^ -h- %mv, a A

(12) < ~ = - sinp --- cost^, {h. — ^ a'^ -f~ cA

(') Bkltrami (E.)> Sulla Jlessione délie superficie rigate {Annali di Matematica pura ed applicata, pubblîcati da B. Tortolini, t. VII, p. io5; i865).

On trouvera

ds'- ^du^^i^ du dv + ^ (î^^-^ A2) ^p2. On a donc ici

«2 /yS

et, par suite, la surface qui est applicable sur l'hyperboloïde avec parallélisme des génératrices sera définie par les formules

C'est une surface hélicoïde dans laquelle une hélice correspond au cercle de gorge de l'hyperboloïde.

Après cette application particulière, revenons à la proposition générale et proposons-nous de rechercher si les deux surfaces dans lesquelles les génératrices correspondantes sont parallèles peuvent se déduire l'une de l'autre par une déformation continue. Pour répondre à cette question, il est nécessaire de rappeler quelques propriétés élémentaires des surfaces gauches.

Remarquons d'abord que, d'après la seconde des formules (6), \jKdv sera l'angle des deux génératrices infiniment voisines de paramètres v ^l v -\- dv.

D'après cela, supposons que, dans l'expression (5) de ds^^ on laisse v et dv constants, mais que l'on fasse varier u et du\ on aura la distance de deux points infiniment voisins, pris respectivement sur les génératrices de paramètres (^ et ç> -h dv. Or cette distance devient la plus petite possible lorsqu'on a

dii — — D dv. u = — -7- j

et elle est égale alors à -—zdv. Donc, si l'on désigne par '^ dv la

plus courte distance des deux génératrices (v) et (v -i- dv), on a

toO LIVRE VII. — CHAPITRE VI.

De plus, le pied de cette plus courte distance, ou le point central, correspond à la valeur de w définie par l'équation

Et enfin, d'après une propriété connue des surfaces 'gauches (*), le paTamètre de distribution, qui est égal k ^ dv divisé par Pangle des génératrices infiniment voisines, aura pour valeur

Il y a lieu ici de faire une remarque essentielle.

731. Si l'élément linéaire seul est donné, l'expression de ts contient un radical et, par suite, le signe de cme peut être déterminé. Mais il n'en est plus de même lorsqiae la surface est définie par des équations de la forme (i). Alors, en remplaçant H et A par

(') Pour plus de clarté, nousîillons rapporter ici la démonstration bien connue

qui donne l'élément linéaire et les propriétés élémentaires des surfaces gauches.

Soient {fig. 73) AA , BB' deux génératrices infiniment voisines dont les para-

Fig. 73-

mètres seront v ti v -{- dv. Si AB est la plus courte; distance de ces deux gétfératrices, la valeur principale de AB sera

AB = p dv,

p étant une certaine fonction db v. Menons par A une parallèle AC à BB' et, par le point M de BB', menons MP, perpendiculaire à AC, et-MQ, perpendiculaire à AA'. Le triangle MPQ étant rectangle, nous avons

(a) PQ = MPtangcp, MQ» =z MP» -+- PQ',

9 désignant l'angle QMP. D'aiitre part, le triangle APQ rectangle en Q nous donne, en négligeant les inflniment petits d'ordre supérieur

PQ = AQ da,

leurs valeurs dans l'équation (i6), on trouve

3oi

ai

ct-i

de sorte que le signe du second membre reste à déterminer. Pour cela, conformément à une méthode bien connue, plaçons-nous dans une hypothèse particulière et supposons que la génératrice considérée vienne coïncider avec l'axe des z. On aura alors

b^=z b2 = bi-^ o.

Le plan tangent à la surface gauche, en un point de Taxe des ^, aura pour équation

Si l'on veut que l'origine soit \e point central et le plan des xz le plan central, il faudra que l'on ait

cIq étant l'angte des deux génératrices AA' et BB'. Si l'on désigne par u et a les distances de Q et de A au point où une trajectoire orlhogonale fixe coupe AA', on a

AQ = u— a,

et, par suite, les formules (a) nous donnent

(a — <x) da

ià)

tang 9

^dv

MQ- = p'^ dv' -\- {u — ay d^K

Or iMQ peut être regardé comme étant égal à l'arc, compris entre AA' et BB', de la trajectoire des généi'citrices passant en M. On aura donc pour l'élément linéaire la formule

ds' — dW -h ^' + ( w — a )2 -T^ I dv-

et, si l'on a choisi v de telle manière que d<s soit égal à dv,

( c ) ds' = du^ -f- [^' -f- [u — olY] dv\

D'autre part, o est évidemment l'angle que fait le plan tangent en M avec le plan tangent en B au point central ; et, par suite, la première des équations (ô) nous donne le théorème de M. Chasles, exprimé par la formule

tang 9 =:

Î3 dv ~d^

Ce sont les résultais que nous rappelons dans le texte. Nous emploierons plus loin la formule (c), où l'on connaît la signification géométrique de tous les termes.

équations auxquelles on peut joindre la suivante

obtenue en différentiant la relation identique entre les trois cosinus. D'après cela, l'équation du plan tangent deviendra

et le paramètre de distribution sera

En comparant à la valeur générale de tjs, on voit qu'il faut prendre

ai «2 ^3 ci\ a 2 «3 b\ b\ b\

Il suit de cette détermination précise du signe de nj (*) que les deux surfaces gauches signalées plus haut, qui sont applicables l'une sur l'autre avec parallélisme des génératrices homologues, par cela seul qu'elles correspondent à des valeurs de H égales et de signes contraires, ont leurs paramètres de distribution égaux et de signes contraires pour deux génératrices homologues. Or il est clair que, si l'on déforme, dUine manière continue, une surface réglée, on ne change pas le signe du paramètre de distribution. Ainsi, quoique les deux surfaces soient applicables l'une sur l'autre, on ne peut, en général, passer de l'une à l'autre par une déformation continue. C'est là le fait que nous voulions mettre hors de doute.

Ajoutons cette propriété : Quand deux points correspondants décrivent sur les deux surfaces des génératrices parallèles, les plans tangents tournent toujours du même angle, mais dans des sens

(') Il est très facile de comprendre pourquoi le paramètre de distribution a un signe. Fixons un sens sur une génératrice rectiligne; quand le point se déplacera dans ce sens, le plan langent tournera autour de la droite dans le sens des rotations positives ou dans le sens opposé. Dans le premier cas, le paramètre de distribution est positif, il est négatif dans le second. Le signe ainsi établi ne <lépend pas du sens que l'on a {\-s.é sur la génératrice.

DÉFORMATION DES SURFACES GAUCHES. 3o3

opposés. Ils sont parallèles pour les points centraux et pour les points à rinfini.

732. Les formules que nous avons données permettent dé résoudre ou d'aborder quelques questions intéressantes que nous allons indiquer rapidement.

Peut-on déformer une surface réglée de telle manière que V une de ses courbes devienne plane?

Nous pouvons évidemment supposer que cette courbe corresponde à l'hypothèse m = o. Admettons, d'autre part, que le plan dans lequel elle sera située ait été choisi pour plan àes yz. On devra avoir

c'est-à-dire

ADaiH- Ba'jH- H(aî«3 — a^a'^) = o.

Mais, d'après les équations (6), on peut écrire

«2 «i — «3 a'j = /(af -+- a\ ){à^ -f- a'^)—{aza^ -h a^a'^)^ — v/( A — a'f )(i — af ) — af a'^ .

L'équation du problème devient donc

(i8) ADai H- Ba; = HVA(i — ai) — d^

et ne contient plus que l'inconnue a^ ; a^ et a^ se détermineront ensuite par la première équation (6) jointe à la suivante

. «^«3 — - «3 a\ /Ad — a\ ) — a^ ^'9) a\-^a\ = T="^f '

qui donnera ~ par une quadrature. Tout se ramène donc (*) à

l'intégration de l'équation différentielle.

On peut intégrer dans le cas où la courbe donnée est une trajectoire orthogonale des génératrices; car alors on a D= o, et

(*) Beltrami (E. ), Mémoire cité plus haut, p. 119.

3o4 LIVRE VII. — CHAPITRE VI.

l'équation peut s'écrire

Une simple quadrature fera connaître a, (').

733. Peut-on déformer une surface réglée de telle manière qu^ une de ses lignes devienne droite?

Cette ligne devra, évidemment, être géodésique; il faut donc trouver une condition correspondante.

Admettons toujours que la ligne donnée corresponde à l'hypothèse w = o et prenons pour axe des z la droite dans laquelle elle se transformera. On devra avoir cette fois

b\ n= b\ ^ o, et, par suite, les équations (7) nous donneront

On en déduit

et de là résulte la condition annoncée

A = (Jl\'.

Connaissant «3, on aura a^ et a2 par les deux équations a\ -\- al ~ i — a| , a'^ H- a'^^ = A — a'^j

qui se résolvent, on le reconnaît aisément, par une quadrature ; car

('.) Dans le cas général, l'équalion appartient au type suivant

où M, N, P sont des fonctions de x. On peut la ramener à l'une des formes suivantes

y = a -h by h- cy'-+- dy^, a, 0, c, d étant des fonctions de x.

DÉFORMATION DES SURFACES GAUCHES. 3o5

on en déduit

a^a'^ — aia'y \/X{i —al) — aj ^ ^ ^ al-^a\ \-~al

Ce problème a été aussi l'objet des recherches dé M. Beltrami, ainsi que le suivant, qui peut toujours être résolu par des quadratures et dont nous nous contenterons de donner l'énoncé :

Peut'On déformer la surface de manière à transformer une de ses courbes en une courbe d^ ombre relative à des rayons parallèles?

734. On peut encore étudier la déformation des surfaces gaucher en employant, sans aucune modification, la méthode générale qui a été développée au Livre V [II, p. 347 et suivantes]. Pour obtenir des résultats plus nets, nous prendrons maintenant l'élément linéaire sous la forme

Alors l'angle w que fait une courbe tracée sur la surface avec la génératrice rectiligne sera défini par les formules du Tableau IV [II, p. 385],

(23) ds cos (M — du, dss\niii = ^{u — a)*-+- p» c?(>.

Si Ton introduit encore l'angle cp que fait le plan tangent au point considéré avec le plan tangent au point central de la génératrice qui passe en ce point, on aura, comme on sait,

(.4) lang<p=îi^", cos,= -^^^^l=^;

de sorte que l'on pourra écrire

du ^dv

(2S) cosa>=-5-, àinw = — ' r-»

^ ds cos cp ds

Si l'on exprime maintenant que les courbes de paramètre v sont des droites, c'est-à-dire qu'elles sont des asymptotiques, on trouve, en se reportant au Tableau indiqué,