CHAPITRE VI
Les
équations (A)
de ce
Tableau donnent alors
q\ coscp
= 0, r, = sincp,
dp
àpx du "
àqi du
= pr\ pqv^— -^cos^t^
^i = — coscp,
rj= sin
On déduit de là
q\ = COS^cp.
Suivant le signe que l'on prendra pour gr,, on aura une surface ou sa symétrique. Choisissons la valeur
q^ = — coso,
qui nous conduira sans diffîcultéau système suivant
où V désigne une fonction de ç. Les rotations étant connues, la surface, nous le savons, est pleinement déterminée de forme; mais, pour l'obtenir, nous devrons intégrer les systèmes linéaires que nous avons étudiés au Livre let qui définissent les cosinus directeurs des axes du trièdre (T). Tls deviennent ici
! da l da . .
-— = o, 1 3- = t> sino -+:• ccoscp,
du i dv ^ ^^
, , ] db dro / a^ ] àb (d^ ,A
Le premier s'intègre sans difficulté et notis donne
a = Vi, 6 = Vs coscp-H V3 sin©, c = — V^ sin <p -+- Vs cos cp,
Vo V2, V3 étant des fonctions de v. En substituant les valeurs de a, 6, c dans le second système, on trouve les équations suivantes
(29) v; = V3, v;=:VV3, ■v'3 = -vv2-v„
qui feront connaître ¥<, V2, V3. On en déduit v-V V- V'+V'
Va— V,, Y, — ^
DÉFORMATION DES SURFACES GAUCHES. 3o7
et Yi sera déterminé par l'équation qui donne
(3o) ^i-T-V, -4 yr^ =1.
Comme V est arbitraire, on pourra prendre arbitrairement V,, et l'équation précédente donnera V; puis, comme on aura une solution particulière des systèmes (27) et (28), la solution générale sera donnée par une quadrature.
Avant d'entreprendre l'étude de la surface, donnons la signification géométrique de cette fonction V qui figure dans l'expression de Pi. Soit M un point de la surface; menons par un point fixe O des droites parallèles aux axes du trièdre (T) relatif au point M; nous formerons un trièdre (Ti) dont l'axe des x sera parallèle à la génératrice qui passe en M. Le lieu de cet axe sera donc le cône directeur de la surface gauche. Si M s'éloigne à l'infini sur la génératrice, le plan des xy du trièdre (T< ) deviendra
le plan tangent au cône directeur. On a alors o--=— et les rotations
du trièdre (T,), égales à celles du trièdre (T), deviennent
yDi=.V, gi = o, ri = i.
Donc les projections sur les axes du trièdre (T^) du déplacement d'un point pris à la distance i sur l'axe des z seront (n° 3)
o, — \ dv^ o.
On voit donc que Y dv est l'angle formé par deux plans tangents consécutifs du cône directeur ou, ce qui est la même chose, V est la courbure géodésique (relative à la sphère) de la section du cône directeur par la sphère concentrique de rayon i (*). Ce point étant établi, nous pouvons étudier les applications.
