Le Tableau II [II, p. 383] nous donne, pour une courbe
(') V est la courbure géodésique de la section du cône directeur par la sphère de rayon i; v est l'arc de cette courbe; comme V est une fonction arbitraire de Vy on voit que le cône directeur paurra être choisi arbitrairement. L'hypothèse V —. const. correspond au cas où le cône directeur est de révolution. Il se réduit à un pliiii pour V = o.
3o8 LIVRE VII. ^ CHAPITRE VI.
tracée sur la surface, les formules suivantes :
(3i) jsinro— = <3?w -4- sincp rfp,
ds
(32) cosTij — = (rfcpH- V û?p) sino) -h coscp costo c?p,
di
(33) -^ — dxs = coscp sintoc^t' — (rfcp -\- Y dv) cosw.
Il résulte de là que l'équation des lignes asymplotiques sera
(34) (<fcp -f- V û^çj) sinto 4- coscp coscD c?p = o ou, en remplaçant cp et w par leurs valeurs,
(35) 2p^^+ap'-pa'-p'a-f-V[(M-a)2+p2] = o.
C'est une équation de Riccati. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant, dû à M. Paul Serret (^) :
Le rapport anharmonique des points où quatre asymptotiques coupent une même génératrice rectiligne demeure constant quand la génératrice varie.
Et nous voyons de plus que, si l'on connaît une seule asj^mptotique, on pourra déterminer loutes les autres par de simples qua^ dratures.
En particulier, si V = o, le cône directeur se réduit à un plan, une des asymptotiques est rejetée à l'infini et l'équation (35) devient linéaire.
Signalons une autre conséquence énoncée par M. Beltrami et M. O. Bonnet. On peut toujours disposer de V de telle manière que l'équation (35) admette une solution donnée u = f(t')» Donc:
On peut toujours déformer une surface gauche de telle manière qu^une ligne donnée devienne asymptotique.
Mais la détermination de la surface exige alors l'intégration d'une équation de Riccati, celle dont dépendent les cosinus directeurs des axes du trièdre (T).
En particulier, si la ligne donnée était géodésique, elle deviendra rectiligne ; nous retrouvons ainsi un résultat donné plus haut (no733).
(') Paul Serret, Théorie nouvelle géométrique et mécanique des courbes à double courbure, p. i65 el suiv.; i86o.
DÉFORMATION DES SURFACES GAUCHES. SoQ
Si la courbe est une trajectoire orthogonale des génératrices, on obtient évidemment le théorème suivant :
H existe toujours une déformation de la surface gauche telle que ses génératrices rectilignes deviennent les normales principales d'une de leurs trajectoires orthogonales, choisie arbitrairement.
Bour, qui a établi ce théorème, a montré de plus que les génératrices pourront devenir à la fois les normales principales de deux courbes si a et p satisfont à la condition
où m, n^ p sont trois constantes.
736. Passons maintenant aux ligi es de courbure. Elles sont déterminées ici par le système suivaut (Tableau IV)
Idu — Rcoscpo?(^ = 0, P c?p — R coscp(é/cp H- V â?P) = o,
où R est le rayon dé courbure principal. Eliminant R, on a l'équation différentielle des lignes de courbure
(38) du{dtf-\-\di-^)-^dv^=o.
Éliminant au contraire -t-> on obtient l'équation aux rayons de courbure principaux
(39) Rtcos*çp-f-Rpcos(p^V+£^ — P« = o.
On trouve ainsi
ce qui montre que, si l'on se déplace sur une génératrice, RR' est minimum pour le point central.
Considérons d'abord l'équation différentielle ( 38) et remplaçonsy cp par sa valeur. Elle deviendra
(40 P du{du—d<x) — (u — a) du rfp + [(m — a)«-f- p2j(V dudv—^ dçi) = o.
3lO LIVRE VII. — CHAPITRE VI.
On pourra donc toujours déterminer V de telle manière qu'elle admette une solution particulière donnée ^^ = cp(p), pourvu toutefois que ^{v) ne soit pas constante. Ainsi :
On peut toujours déformer une sur/ace gauche de telle manière qu! une courbe tracée sur la surface devienne ligne de courbure, à moins que cette courbe ne se réduise à une génératrice re<:tiligne ou à une trajectoire orthogonale des génératrices rectilignes.
Proposons-nous encore de rechercher si une des deux familles de lignes de courbure peut être formée par des courbes, équidistantes, c'est-à-dire telles que deux d'entre elles intercépténjt le même segment sur toutes les génératrices. L'équation d'une telle famille de courbes est évidemment
G désignant la constante arbitraire. En substituant la valeur précédente de u dans l'équation {^\) el exprimant que les coefficients des diverses puissances de G sont nuls, nous trouvons
Et de là nous déduisons
Ges relations expriment que la ligne de striction u^= ol est une ligne de courbure et que le paramètre de distribution ^ est constant. Il faut de plus que a soit variable, c'est-à-dire que la ligne de striction ne coupe pas les génératrices à angle droit. Ainsi :
Les seules surfaces réglées pour lesquelles une des deux familles de lignes de courbure soit composée de courbes équidistantes les unes des autres sont celles dont le paramètre de distribution est constant et dont la ligne de striction est une ligne de courbure (').
(0 Voir sur ce sujet une Note de M. Lelikuvre, Sur les lignes de courbure et les lignes asymptoticfues des surfaces {Comptes rendus, X. CVF, p. i83; 1888).
Dans iOuvrage que nous avons cité [p. 3o8], M. Pauf Serret avait déjà obtenu les iBôrnes surfaces (p. i56 et suiv. ) en cherchant si les lignes de courbure de l'une des faniiilcs peuvent être équidistantcs de la ligne de striction.
DÉFOKMAÏION l)KS SURFACKS r.AUClIRS. 3ll
Et] supprimant le facteur du — dà ([ui se présente alors dans l'équation (40' ^^ trouve; que les lignes de courbure de la seconde famille sont définies par Téq-iiation de Riccati
(4^) ol' du \-{{a — 'xy^-T-fj-^cIv r=: o^
ce qui montre qu'elles divisent hojuographiquement les différentes génératrices.
737. Pour terminer cette étude rapide, nous allons indiquer quelques propriétés élégantes de la ligne de striction. On a, pour cette ligne,
(43) w — a, sincp q= o.
Si l'on se reporte à la formule (3i), on voit que la ligne de striction est aussi caractérisée par l'équation
(44) sinriT — —dix).
Si donc on se rappelle la signification géométrique de w et de m, on obtient la proposition suivante, due à M. O. Bonnet (') :
Une ligne tracée sur une surface réglée peut êti-c, soit une géodésique, soit une trajectoire des génératrices sous un angle constant, soit la ligne de striction. Si deux quelconques de ces propriétés lui appartiennent, il en est de même de la troisième (-).
Par exemple, si la ligne de striction est une géodésique, elle coupe nécessairement les génératrices sous un angle constant, et vice versa.
Les surfaces dont la ligne de striction a les propriétés que nous venons de signaler peuvent être aisément définies. Gomme on a.
(') 0. Bonnet, Mémoire sur la théorie générale des surfaces {Journal de l'École Polytechnique, XXXIP Cahier, p. 70; i8/|«).
(^) Cette proposition est susceptible d'extension. Considérons sur une surface une famille quelconque de géodésiques et appelons ligne de striction le lieu des points où chaque géodésique est le plus rapprochée ou le plus éloignée de la géodésique infiniment voisine. Le théorème énoncé dans le texte s'applique à cette ligne de striction; il faut excepter toutefois le cas où les géodésiques auraient une enveloppe et où la ligne de striction se réduirait à colto enveloppe.
pour k ligne de Striction,
cos(i> = sinw =
on voit que a et ^ seront liés par la relation
(45) p = a'tangw, OÙ (1) est un angle constant.
738. Si nous supposons de plus que le paramètre ^ soit constant, nous retrouverons les surfaces très intiéfessantes rencontrées déjà au n« 692.
Remarquons d'abord que deux de ces surfaces qui correspondent aux mêmes valeurs de ^ et de w sont applicables l'une sur Tautre. En effet, on déduit de l'équation (4^)5 en intégrant,
(46) a — P(;cotw-h P05
po désignant une constante ; mais on peut faire disparaître cette constante en choisissant convenablement la trajectoire orthogonale pour laquelle on a w = o ; de telle sorte que l'élément linéaire est défini par l'équation
(47) C?52= ^w2-f- [(W— PpCOtw)2-4-p2]û?p2,
qui ne contient d'autres constantes que w et p. Notre proposition se trouve ainsi démontrée.
Ce point une fois établi, supposons d'abord que la ligne de striction soit trajectoire orthogonale des génératrices. On aura
0)= -> et Ton retrouvera la forme de l'élément linéaire qui con-
vient à l'hélicoïde gauche à plan directeur et à l'alysséide (n** 68). Ainsi :
Toutes les surfaces gauches dont la ligne de striction coupe les génératrices à angle droit et pour lesquelles le paramètre de distribution des génératrices est constant sont applicables sur une alysséide.
Examinons maintenant le cas où w est différent de -• Parmi les
surfaces correspondantes se trouvent évidemment l'hyperboloïde
de révolution à une nappe et les hélicoïdes gaxiches différents de
DÉFORMATION DES SURFACES aAUCIÎES. 3i3
celui qui est applicable sur l'aljsséide. Cela résulte immédiatement de ce que ces surfaces peuvent prendre un déplacement continu dans lequel elles ne cessent pas de coïncider avec ellesmêmes. D'autre part, à toute valeur de w différente de - et à une
valeur quelconque de p, correspond toujours un hjperboloïde déterminé. En effet, si a est l'axe réel et h l'axe imaginaire d'un hjperboloïde, l'angle co et le paramètre de distribution ^ ont pour valeurs
(0 = arc tang -, p = ô.
Donc, d'après la remarque faite plus haut,
Toutes les surfaces réglées pour lesquelles le paramètre de distribution est constant, et dont la ligne de striction coupe les génératrices sous un angle constant mais non droit, sont applicables sur V hyperboloïde de révolution à une nappe.
11 en est ainsi, en particulier, de tous les hélicoïdes gauches qui ne coupent pas leur ligne de striction à angle droit, c'est-à-dire qui ne sont pas engendrés par les binormales d'une hélice.
739. Une curieuse propriété signalée par Laguerre peut être ici rapidement établie (' ).
Les formules générales (82) et (33), où l'on fera 73 = o, cp r= o, nous donnent ici, pour la courbure et la torsion de la ligne de striction, les valeurs suivantes :
Q. I V sin^o) -f- sinci) coscD i sin'w — Vsinwcosto
Ces valeurs ne contiennent d'autre variable que V. Si on l'élimine, on trouve que p et t satisfont à l'équation (-)
, , , coso> sinti) sino)
(') Laguerre (E. ), Sur une propriété de V hyperboloïde de révolution (^Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques, t. II, .p. 279; 1871).
(') D'une manière générale, lorsqu'on déforme une surface gauche, on a toujours, pour une courbe quelconque, la relation
coscj /i c?cj\ cos'cp Sinb)
COSO)
/i rfcj\
P \X dS J p ^ RR'
3l4 LIVRE VII. — CHAPITRE VI.
Supposons d'abord (0 = -• Nous obtenons ce théorème :
Toutes les surfaces réglées qui résultent de la déformation de la surface de vis à filet carré ont pour ligne de striction une courbe à torsion constante, trajectoire orthogonale des génératrices rectilignes.
sera :
Supposons maintenant w=:--- La proposition correspondante
Si Von déforme un fyperholoïde de révolution à une nappe, le cercle de gorge se transforme en une courbe de M. Bertrand (') [c' est'à-dire pour laquelle il y aura une relation linéaire entre la courbure et la torsion).
La proposition réciproque a été énoncée par M, Bioche (,2) :
Si Von a une courbe de M. Bertrand, on obtiendra une surface applicable sur un hyperbolotde de ré^^olution en menant par ses différents points des parallèles aux binormales de la courbe qui admet les mêmes normales principales.
740. Il ne nous reste plus, pour terminer ce Chapitré, qu'à indiquer rapidement la solution d'une question qui a été Tiabjet des études simultanées de MM. Beltrami et Dini (3).
Quelles sont les surfaces réglées pour lesquelles les rayons de courbure principaux sont fonctions tun de Vautre?
Si nous nous reportons à l'équation qui donne les rayons de courbure principaux et si nous posons, pour abréger,
R R' /:rRR'
(') Voir au sujet de ces courbes le Livre I, Chap. I.
(^) Biociie; (Ch. ), Sur certaines surfaces réglées {Comptes rendus, t. GVI, p. «29; 1888).
(') Reltrami (E. ), Risoluzione di un problema relativo alla teoria délié superficie gobbe {Annales de Tortolini, X. VII, p. 189; i865).
Dini (U. )> Suite, superficie gobbe nelle quali uno dei due raggidi curvatura principale è una fanzioae delV altro (m(^itic Recueil et même tome, p. 2o5).
DÉFORMATION DES SURFACES GAUCHES. SlÔ
nous trouvons
cos^ / do\ Vcoscp a'cos^çp ^' sin.cp cos'cp
cos-'çp
L'élimination de cp. nous conduit à la relation
(52) pA = (V-a'>^)v/p-p'AVl'=^f,
qui a lieu en tous les points d'une même génératrice et qui doit être indépendante de p s'il y a effectivement une relation entre les rajons de courbure, c'est-à-dire entre h et k. Or, si l'on développe h suivant les puissances de \//f, on trouve que les premiers coefficients sont
Comme ils doivent être constants, nous voyons qu'il en est de même de a', ^, V. La relation (^i) devient alors
(53) hs/^:={y — <x'k)s/k.
Comme a' et^ sont des constantes, les surfaces obtenues appartiennent à la classe de celles que nous avons étudiées au numéro précédent. De plus, V étant aussi constante, il résulte des formules (48) que la ligne de striction aura ses deux courbures invariables et sera, par suite, une hélice tracée sur un cylindre circulaire droit. Les surfaces obtenues sont donc les hélicoïdes et l'hyperboloïde réglé de révolution.
C'est le résultat obtenu par MM. Beltrami et Dini. Mais, il faut le remarquer, nous avons laissé de côté les surfaces développables et, aussi, ces surfaces réglées imaginaires qui ont été écartées au début de ce Chapitre. Il y a, par exemple^ line infinité de surfaces gauches à courbure totale constante qui résultent de la déformation de la sphère, considérée comme surface réglée; elles ont été signalées par M. J.-A. Serret, dans un article inséré en 1848 au Journal de Liouville (t. XIII, p. 36 1) sous le titré suivant : Note sur une équation aux dérivées partielles.
3|i6 LIVRE VII. — CHAPITRE VU.
