CHAPITRE YII

Rappel des formules relatives au système de coordonnées formé par les lignes de coiirbure. — Relations entre les rayons de courbure et la représentation sphérique. — PriBmier théorème de M. Weingarten : pour déterminer une surface dont les rayons de courbure sont liés par une relation, il faut ramener à une certaine forme l'élément linéaire de la sphère. -- Applications : surfaces canaux; surfaces minima. — Nouvelle classe de surfaces découverte par M. Weingarten. — Intégration d'une équation aux dérivées partielles. — Second théorème de M. Weingarten. — Propositions générales relatives à la développée d'une surface. — Les deux nappes de la développée d'une surface W, c'est-à-dire d'une surface dont les rayons de courbure sont fonctions l'un de l'autre, sont applicables sur une surface de révolution dont l'élément linéaire dépend seulement de la relation entre les rayons de courbure. — Réciproque et démonstrations géométriques de M. Beltrami. — Applications. — On sait déterminer toutes les surfaces applicables sur le paraboloïde de révolution.

741. Nous avons vu [11, p. 872 ou Tableau V] que, si une surface est rapportée à ses lignes de courbure, les formules de M. Codazzi deviennent d'une extrême simplicité.

L'élément linéaire étant pri$ sous la forme

(1) £/5«= A2rfM«-f-C*rff«,

et les axes des x et des y du trièdre (T) coïncidant avec les tangentes aux lignes coordonnées, on a

et les formules fondamentales se réduisent aux suivantes

i^ dA j àq I jG I àp^

Qk~àv ~ p^ dv^ ^~ A au ~ q du ^

dr drx

dv du

On a vu que, si R et R' désignent les rayons de courbure princi-

LES THÉORÈMES DE M. WEINGARTEN. Siy

pauxqui correspdndent respectivement aux aivcs AduelCdç', on a

Ces expressions permettent de substituer R, R' à A et à G dans les relations (3). On obtient ainsi les équations

) dv q av ^ au />i du ^ '

\ d l \ àq\ à /i dpA

qui peuvent remplacer le système (3). Si l'on se rappelle que l'élément linéaire de la représentation sphérique est donné par la formule [II, p. 3^2]

(6) d<3^ = q^du^-\-p\dv'^,

on reconnaît immédiatement que le système (5) contient toutes les relations qui existent entre cette représentation sphérique et les rayons de courbure. La dernière équation est évidemment vérifiée pour tout système de courbes orthogonales tracé sar la sphère de rayon i; elle exprime, en effet, que la courbur.e totale de la surface est égale à i .

742. Les formules précédentes peuvent être utilement employées dans un grand nombre d'applications. En particulier, elles vont nous permettre d'étudier avec M. Weingarten les surfaces dont les rayons de courbure sont liés par une équation donnée a priori. Ces surfac^es satisfont à une équation aux dérivées pai'tielles du second ordre qui n'avait encore été intégrée que dans des cas très spéciaux (surfaces canaux; surfaces minima). Les propositions que M. Weingarten a fait connaître successivement sur ce beau sujet ont fait de son étude un des chapitres les plus attrayants de la Géométrie. Comme elles se relient à la théorie de la déformation des surfaces, le moment est venu de les exposer avec tous les développemeMs nécessaires.

Si l'on considère R' comme une fonction de R, les deux premières équations (5) peuvent être intégrées et nous donnent

318 LIVftE vil. — CHAPITRE VII.

U désignant une fonction de w et V une fonction de v. Mais, si l'on se reporte à la formule (6) qui définit la représentation sphérique, on voit qu'en choisissant convenablement les paramètres des lignes de courbure, il sera permis de remplacer U et V par l'unité. Ainsi l'on pourra prendre

(7) y = e^^'-^ p,=:eJ'''-^.

Pour la simpliôilé des applications, il convient de se débarrasser des quadratures qui figurent dans ces formules. On y parvient aisément en posant

(8) R = ?(/0, R'=-.o{k)-ko'(k), k étant une variable auxiliaire. Alors on trouvera

et les formules (4) feront ensuite connaître les valeurs suivantes

(lo) A=— ^— , G = "i rrrr

de A et de G.

Lorsqu'on se donnera a priori la relation entre K et R', les variables A' et (f{k) seront déterminées par les formules

On pourra donner telle valeur que l'on voudra à la constante introduite par la première quadrature.

Il reste encore à exprimer que la dernière des relations (5) est vérifiée. En y substituant les valeurs de q et de /?<, on obtient l'équation aux dérivées partielles

à(f^àk-\ . à li àk\ T

^^'^ du\<ù'-i du)'^ dv\k^ d^^J ko'~~^'

dont l'intégration fera connaître A" en fonction de u et de i^. Mais comme cette équation exprime simplement, d'après une remarque faite plus haut, que l'élément linéaire défini par la formule (G), c'est-à-dire par la suivante

LES THÉORàMES DE M. WEINGARTEN. SlQ

est celui d'une sphère de rayon i, nous sommés conduits au premier théorème de M. Weingarten (* ) :

La recherche des surfaces pour lesquelles les rayons de courbure principaux sont fonctions Vunde Vautre {nous les appellerons dans la suite des surfaces W) revient à celle des systèmes sphériques orthogonaux pour lesquels Vêlement linéaire de la sphère prend la forme

(12) d<S^=:^^du^^-^^dvi

OU, ce qui est la même chose,

La réciproque 0st évidemment vraie.

Toutes les fois que Vêlement linéaire de la sphère est ramené à la forme (la), ^{k) sera déterminée à ilne constante près, etf par suite, les formules (8) ou (lo) feront connaître une famille de surfaces parallèles dont la représentation sphériquesera définie par la formule (12) et dont chacune sera une surface W.

Toutefois, il y a ici deux cas bien distincts à considérer.

Si le système orthogonal tracé sur la sphère est entièrement connu, c'est-à-dire si l'on à les expressions des cosinus directeurs c, c'^ d' de la normale à la surface cherchée en fonction de u et ç^, les formules d'Olinde Rodrigues (n^ 141) nous donneront les coordonnées du point correspondant de la surface par les quadratures suivantes :

(.3, \y=.-j[^fju-.^%.:).

(') Weinqarten (J.), Ueher die Oberflàchen fiir welche einer der beiden Hauptkiummungshalbrnesser eine Function des anderen ist {Journal de C relie, t. LXII, p. 160; 1862).

320 LIVRE yil. — CHAPITRE VII.

Mais, si les expressions de pi et de q sont seules connues, la détermination de c, d , c" exigera encore rintégration d'une équation de Riccati (n**484) .

743. Le point essentiel et le plus difficile est, on le voit, de ramener à la forme (12) l'élément linéaire de la sphère. Le problème auquel nous sommes ainsi conduits a déjà été étudié d'une manière générale au n° 578. Il se ramène en définitive à l'intégration (^e l'équation (i i).

Commençons par un cas très particulier où la solution s'offre immédiatement. On sait que l'on peut mettre l'élément linéaire de la sphère sous la forme

en prenant pour les lignes u = cronst. une famille quelconque de géodésiques, c'est-à-dire de grands cercles. On aura ici

ce qui donne, a désignant une constante,.

o{k)-^k-ha; g

L'un des rayons de courbure étant constant, on obtient une surface canal. Les formules générales nous donnent ensuite

A = — I — ag^ Qa = à.

Comme nous savons (n^* 599) que g est de la forme

^ = U cosp 4- Ui sinp,

on voit que nous avons tous les éléments nécessaires pour étudier la surface.

744. Une application plus importante se rapporte aux surfaces minima. Nous savons mettre, de toutes les manières possibles.

rélément linéaire de la sphère sous la forme

(14) ds^=^\^{du'^-i-dv'^),

qui correspond aux systèmes isothermes. On aura ici

X2=-l = ^-i— , d'où o'ik)=k.

k^ cp'2(X:) ' ^

En négligeant une constante dont l'introduction donnerait seulement les surfaces parallèles à celle que nous allons obtenir, on peut prendre

Il vient alors

La relation entre les rayons de courbure,

caractérise les surfaces minima. On retrouve en même temps deux de leurs propriétés les plus importantes, puisqu'on reconnaît que les lignes de courbure formant un système isotherme et qu'il en est de même de leur représentation sur la sphère. Les formules (i3) nous permettraient de calculer les coordonnées d'un point de la surface; nous ne reviendrons pas sur ce sujet.

745. Les résultats que, nous venons de signaler avaient été obtenus déjà par d'autres méthodes; mais M. Weingarten a montré que son tnéorème permet de trouver une classe nouvelle de surfaces définies par une relation entre les rayons de courbure.

Nous avons vu, en effet, au n° 527, que, si l'on prend comme coordonnées d'un point ses distances géodésiques u! et v^ à deux courbes distinctes, l'élément linéaire est défini par la formule

, , du'^ -i- dv'^-h 2 costo du' dv' ( 1 ,5) û?A-2 —

^ ' sin^w

Si l'on adopte ensuite les variables

D. ~ IIL

322 LIVRE Vil. — CHAPITRE VI

l'élément prend la forme (16) ds^=-

Sin^ -^ cos^ - 2 2

que nous avons aussi signalée. Réciproquement, si l'élément linéaire a pu être ramené à la forme ([5) par exemple, u! et v' sont les distances géodésiques à deux courbes; car on a, comme il est aisé de le vérifier,

Aw'= Aç''= I.

Nous voyons donc que, si l'on sait déterminer les lignes géodésiques d^une surface j on saura aussi j de la manière la plus générale y ramener son élément linéaire à Vune des deux expressions précédentes.

Appliquons cette remarque à la sphère et comparons l'élément linéaire (16) à celui qui est donné par l'équation (12). On voit que l'on pourra prendre ici

1 • ^ k = sin - ,

cp'(A:) = cos-,

d'où l'on déduira

(f'{k) dk = - cos2 — d(xi,

,,/^.^^ + sinco

Nos formules générales nous d

onnent donc

, wH-sino)

^, 10 — sinto