COS
sin —
1 , to -h sin O)
0) — sinto
4 sin —
4 cos ~
Éliminant (0 entre les équations qui déterminent les valeurs de R et de R', on trouve
(18) 2R — 2R'== sin(2R + 2R').
Telle est la relation entre les rayons de courbure de la surface correspondante. On voit qu*elle est de forme très compliquée.
LES THÉORÈMES t)E M. WEÏNGARTEN. 323
746. Si l'on exprime que rélémenl linéaire (i6) convienl à la sphère de rayon i, c'est-à-dire que la courbure totale est égale à i . on sera conduit à l'équation aux dérivées partielles
d ( oi ()cl) \ ù ( ^ w ()tù \ 4
^ '^' âu\ ^ '2 du/ (/V \ 2 âv / sino)
Les recherches précédentes peuvent donc être considérées comme faisant connaître l'intégrale générale de cette équation. Nous allons, à l'exemple de M. O. Bonnet ('), développer les calculs qui conduisent à cette intégrale.
Soit
(20) ds^ = d^^-^sin^iid:!^
l'élément linéaire de la sphère. Toute fonction P^ satisfaisant à l'équation
sera le résultat de l'élimination de a entre les deux équations
J b~in6
J sinô/sin^O — «^
Il suit de là que l'on aura deux fonctions de ce genre, u' et r'. en prenant
sinôv/sin2 6 — a2
l (; =: IJ(T 4- (22)
/.^ii^^i^^.0-.,.,),
o = a — / / -h cû'(S).
J sin6v/sin2 0 — 1^2
On déduit de là, en difFérentiant,
v/sin2e-«2 SIC 6
•^ sin8
(') Journal de l'École Polytechnique, XLIP Cahier, p. go et sui
Ces formules donnent les valeurs de ûf9, <ia-; portons-les dans l'élément linéaire (20) de la sphère; il prendra, comme cela était évidente priori, la forme (i5) avec la valeur de w définie par l'équation
, ^ , a v/sm^TIT^ -}- B v/sin2e — 82
(23) cosco = ^--^-- -—'
P /sin^ 6 — a'- 4- a v/sin2 0 — ^2
L'intégrale de l'équation (J9) s'obtiendra maintenant de la manière suivante. Effectuons les quadratures indiquées dans les équations (21) et (22), éliminons cr, remplaçons u! %l (^' par u-\~v^\. Il — (^; nous aurons les trois équations
... .,, , . Vsin2e — a2
u -^ V = /(a) — a/ (a) -f arc sin-î^ —
/ /N ; /ûN o '/On • v/sin2 0 — 82
(24) ( M — p = cofB) — 8 9 ( 8 ^ -^ arc sin ^— *- ,
^,, , ,,Q, . v/skr2~e a2 . v^sin2 6— 82
/ (a) — 9(8)= arc sin . — arc sin -^^ ' - -
^^ sin6v/i-a2 sine/i-p
qui, jointes à la précédente (28), donneront l'intégrale cherchée. Pour obtenir l'expression de 0) en fonction de u et de v^ il suffira d'éliminer 9, a et ^ entre ces quatre équations.
L'élimination est impossible dans le cas général: mais on peut remplacer l'équalion (23) par l'une des suivantes
/ TN /"^^Tâ :-, pH-acoso) /-^-iTR Qi; a-+-8costo
(25) v'sm2 0 — a2 = i- -. — .- — , v'Sin2 6— |32= f- ,
qui permettent d'éliminer B. On est ainsi conduit au système
I a^ + COSw ^ y/i— a2 y/i — [^2 cos(/'— cp'), (26) \ p -h a cosw = sinw /i — a.^ sm{u -^ v — f-\-if'),
a -h p cosw = sinto \/i — ^2 sin(.M — v — cp -h pcp'), plus simple à quelques égards que les équations (23) et (24).
747. Avant d'établir les remarquables théorèmes qui précèdent, M. Weingarten avait déjà fait connaître, sur le même sujet, une
LES THEOREMES DE M. WEINGARTBN. 325
proposition qui est du plus haut intérêt pour Ja Géométrie (*) et que nous allons maintenant démontrer.
Revenons aux surfaces W les plus générales, et proposons-nous de déterminer leur surface des centres de courbure que nous appellerons aussi leur développée.
Pour \di première nappe, c'est-à-dire pour celle qui contient les centres de courbure des courbes de paramètre v, les coordonnées ^,, jKi, 2< du centre de courbure sont données par les formules
(27) :ri = rr4-cR, ji=j-hc'R, z^=^ z-h c"^,
Xj j^, z désignant les coordonnées du pied de la normale et c, c^, d' ses cosinus directeurs. En vertu des formules d'Olinde Rodrigues, on a
dx ^ de dx ^, de
-r--r-R— =0, — -hR'--=:0
OU ou ov 0\>
et les équations analogues enjK, z\ on trouve donc
<^;ri=:(R — R')~ dv-^c rfR,
^ ov
(28) {dy^ = {K-K')^-^dv^c'dK, dz^ ^ {K — K')^-^ dv -^ c' dK,
et, par suite, l'élément linéaire de la première nappe aura pour expression
(29) ds\=p\{K — 'R'Ydv'^-\-dR'^.
On trouvera de même, pour la seconde nappe de la développée,
(30) dsl = ^2(R R')2c?a2-i-rfR'î;
et ces deux formules s'appliquent, il faut le remarquer, quand la surface donnée est quelconque.
Elles mettent d'ailleurs en évidence des propositions que nous avons déjà signalées. Par exemple, la première, qui convient à la
(' ) Weingarten ( J. ), Ueber eine Klasse au/ einander abwickelbarer Flàchen {Journal de Crelle, t. LIX, p. 882; 1861).
première nappe, nous montre qu'aux lignes de courbure de la surface de paramètre (^ correspondent, sur cette nappe, des géodésiques dont les trajectoires orthogonales sont les courbes R = cfonst. Nous reviendrons au Chapitre suivant sur la surface des centres ; pour le moment, nous nous contenterons des formules précédentes et nous les appliquerons aux surfaces W. Si nous j remplaçons p^ , q^ R, R' par leurs expressions (8) et (9). déjà données, nous trouverons
(3i) rf^î = A:2rfp2 + cp'2(A:)rfA:2,
(32) rf5| = cp'2(A:)<^w2+Â-2cp"2(A:)^A2.
Or ces deux formes conviennent évidemment à des surfaces applicables sur des surfaces de révolution. Donc : .
Si Von considère toutes les surfaces W qui correspondent à une même relation entre les rayons de courbure, la première et la seconde nappe de la développée de toutes ces surfaces sont, Vune et Vautre, applicables sur des surfaces de révolution dont les éléments linéaires dépendent uniquement de la relation entre les rayons de courbure et, par conséquent, demeurent les mêmes pour toutes les surfaces considérées.
748. La réciproque de cette proposition est exacte et peut se démontrer comme il suit.
Considérons une surface (S, ) rapportée à une famille de géodésiques et à leurs trajectoires orthogonales. Son élément linéaire, sera donné par la formule
(33) ds\ = du'^-^C^dv'^.
Construisons, en chaque point, le trièdre (T) formé par la normale et les tangentes aux courbes coordonnées et conservons toutes les notations relatives à ce trièdre. Nous savons que les tangentes aux géodésiques v = const. sont normales à une famille de surfaces (n°4il). Il est aisé de vérifier ici cette proposition et de déterminer l'une quelconque des surfaces parallèles auxquelles toutes ces droites sont normales.
En effet, en chaque point, la tangente à la géodésique est l'axe des X du trièdre (T). Un point situé sur cet axe des :r, à la dis-
tance l^ du sommet du trièdre, est défini par les formules
(34) Xq= Xi-^- al, yQZ=yi-{- a'\, ^o = -Si -+- a"X.
Différentions l'une quelconque de ces formules, par exemple la première, el remplaçons dXi et da par leurs valeurs
dxi = a du-\- bC dv, da = b{r du ■+- ri dv) — c{q du-^ q^ dv) = b y- dv — c{q du -4- q^ dv),
nous trouverons
G-hX— - \ dv — c\{q du >^ q i di>) ;
et nous aurions des formules analogues pour dyo^ dz^.
D'après cela, pour que la surface décrite par le point (:ro,j'oi ^o) soit normale à l'axe des ^, il suffira que le coefficient de a soit nul dans l'équation précédente, c'est-à-dire que l'on ait
