X -h a = const
En nous bornant à une seule des surfaces normales, nous pouvons prendre
Si nous portons cette valeur dans les équations (34), nous obtiendrons les expressions suivantes
(3;) X = Xi — au, y = y^ — a' u, z = z^ — a" u,
qui définissent, en général ('), une surface (S) normale à toutes les tangentes des géodésiques.
D'autre part, si l'on veut que la surface décrite par le point (*^0' y^i -2o) soit tangente aux mêmes droites et, par suite, constitue avec (S,) la seconde nappe (S2) de la développée de (S), il faut prendre pour à la valeur
Ou
( ' ) Il convient toutefois de signaler ici un cas particulier. Il peut arriver exceptionnellement que le lieu décrit par le point {x, y, z) ne soit pas une surface. Le déterminant fonctionnel de deux quelconques des coordonnées contient, en
qui annule le coefficient de b dans l'équalion (35). On a donc, pour les coordonnées X2j y-i, ^2 du point de (S2), les expressions
du du du
et il résulte immédiatement des formules (36) et (38) que les deux' rayons de courbure de (IS) ont pour valeurs
du
749. Appliquons ces résultats généraux au cas particulier où C est une fonction de la seule variable u^ ce qui caractérise les surfaces applicables sur les surfaces de révolution.
Dans ce cas, les deux rayons R et R' dépendront de la seule variable a et seront toujours fonctions l'un de l'autre. De plus, la relation qui les lie l'un à l'autre demeurera la même quand on déformera d'une manière quelconque la surface (Si). Ainsi :
Si une surface (84) est applicable su?' une surface de révolution, les tangentes à celles des géodésiques de (S,) qui correspondent aux méridiens de la surf ace de révolution sont normales à une famille de suif aces parallèles W. La relation entre les deux rayons de courbure principaux de chaque surface W demeure la même quand on déforme (Si) de toutes les manières possibles.
effet, le facteur
Lorsque ce facteur est nul, et clans ce cas seulement, la surface (2:) se réduit à une courbe ou à un point.
Si q est nul, c'est que les géodésiques sont des droites; alors le théorème n'aurait aucun sens.
Si l'autre facteur est nul, on a encore
C = uo{v).
La surface considérée est une développable et les surfaces normales aux tangentes des géodésiques sont des surfaces-canaux dont l'une se réduit à une courbe. C'est précisément celle qui est déterminée par les formules {o'J).
D'autre part, si l'on remplace )., dans la formule (35), par la valeur qui convient à la surface (S2), on obtient l'équation
dx. — ad[ u — -^ \ -h -^ {q du-^qx dv ) c,
V du
du
à laquelle on'peut ajouter les formules analogues pour dy2 et dzz. On peut donc en déduire l'élément linéaire de la nappe (82)^ qui sera déterminé par la formule
dst =
-^-{qdu-^q,di>f.
Dans le cas où G ne dépend que de m, l'expression
G ( ^ du -\- qi dv)
est une différentielle exacte en vertu des formules de M. Codazzi [II, p. 385, (A)], et l'élément linéaire se réduite la forme suivante
(40 dsl=\ -^^^ I du'>- '^'''
V\dii) J
du I
qui convient, comme il fallait s'y attendre, à une surface applicable sur une surface de révolution.
750. Quelques remar<jues très simples permettent de démontrer complètement, et d'une manière intuitive, la seconde proposition de M. Weingarten.
Considérons d'abord une surface (2) : soient M un de ses points, G et G' les centres de courbure principaux relatifs à ce point. Aux lignes de première courbure correspondent, sur la première nappe (Je la développée, des géodésiques dont les trajectoires orlhogqnales sont évidemment les courbes pour lesquelles le premier rayon principal R = MG demeure constant; car, si le segment MG se meut eq demeurant invariable, il doit être normal à la trajectoire de G, comme il l'est à celle de M.
Ainsi l'élément linéaire de la première nappe de la développée, correspondante aux lignes de courbure de paramètre v par exemple,
33o LIVRE Vil. — CHAPITRE VII.
est certainement de la forme
Mais nous savons (n° 637) que le centre de courbure géodé-
sique de la courbe R == const. est situé sur la seconde nappe de
la développée. Le rayon de courbure géodésique de cette courbe
est donc égal, en grandeur et en signe, à R'— r R; ce qui permet
d'écrire l'équalion
I I dK
où K est considéré comme fonction de R et de p.
Cette formule est tout à fait générale. Si on l'applique au cas ou R' est fonction de R, on pourra en déduire
r dl\
et cette valeur de K caractérise les surfaces applicables sur les surfaces de révolution.
La proposition directe est ainsi démontrée. La réciproque peut être établie de même et sans aucune difficulté.
Considérons en effet une surface (S,) et une famille de géodésiques tracées sur cette surface. Chacune de ces géodésiques a une infinité de développantes; associons toutes celles de ces développantes qui ont leur point de départ sur une même trajectoire orthogonale des géodésiques. Nous formerons ainsi une surface (S) qui sera normale à toutes les tangentes des géodésiques. On le démontre immédiatement de la manière suivante.
Considérons sur chaque tangente à la géodésique le point de conlactMetle point Pou elle rencontre la surface (2). Si le pointM décrit la géodésique, le point P, décrivant une développante de celte géodésique, se déplacera normalement au segment MP. De même, si le point M se déplace sur la trajectoire orthogonale des géodésiques, le segment MP conservera sa longueur, et, comme le point M se déplace normalement à MP, il en sera de même du point P. La tangente MP, étant normale à deux déplacements distincts du point P, sera nécessairement normale à la surface (S) lieu de ce point.
Le reste de la démonstration n'offre aucune difficulté. Soit ;^le
LES THÉORÈMES DÉ M. WEINGARTEN. 33l
segment MP. L'élément linéaire de (S,) sera de la forme
et les deux rajons de courbure principaux de (S) en P seront, comme précédemment,
Il et u — —7,- • du
Si donc la surface (Sj) est de révolution, C dépendra uniquement de u et les deux raj'ons de courbure seront liés par une relation déterminée.
Ces élégantes démonstrations sont dues à M. Beltrami (<).
751. Après avoir démontré par l'Analyse et par la Géométrie la seconde proposition fondamentale de M. Weingarten, appliquons-la aux cas parti<iuliers que nous avons étudiés plus haut.
Considérons d'abord les surfaces-canaux, pour lesquelles on a
(4^) cp(^) = /c H- a.
Les formules (3 1) et (82) nous donneront pour les éléments linéaires des deux nappes de la développée les expressions
(43) dsl = k^di>^-^dk^. dsl = duK
La première nappe est une développable; la seconde se réduit à une courbe. Tous ces résultats sont bien connus.
Considérons maintenant les surfaces minima, qui correspon-, dent à la valeur suivante
(44) ?(>t)=^ de (f{k). Nous aurons ici
ds\ = k^{dv^-hdk^),
( dsl = k'^{du'^-^-dk^).
On voit que les deux nappes sont applicables Tune sur l'autre. Il est aisé de définir géométriquement les surfaces de révolution
(') Ricerche, art. XIX.
qui admettent rélément linéaire précédent. Gomme la seule surface minima de révolution est l'alysséide (n*^ 66), cet élément linéaire convient aux surfaces engendrées par la révolution de la développée d^une chaînette autour de la base de cette courbe. Ces surfaces ont déjà été signalées au n° 692.
Examinons enfin la classe nouvelle de surfaces découvertes par M. Weingarten. On a trouvé
l A: = sm-, cp(A:) = cos-,
dk = - cos - «?0(), ^ {.k^ = — tang
On aura donc, pour les deux nappes de la développée,
/ ds\ =zk'^dv^--\-{v — k^)dk'',
(il) } /.^ dk^
Ces deux expressions se ramènent l'une à l'autre par le changement de A" en y/ 1 — k"^. Les deux nappes de la développée sont donc applicables Vune sur Vautre, et l'on peut se contenter de considérer la première. Elle est applicable sur la surface de révolution définie par les formules
— k-^ - m2 dk.
OÙ p désigne la distance à l'axe des z.
Si l'on prend m = i , on obtient le paraboloïde
Ainsi Von saura déterminer toutes les surfaces applicables sur le paraboloïde de révolution.
A la vérité, le paraboloïde précédent est imaginaire; mais il est aisé de démontrer que l'on pourra obtenir un paraboloïde réel. Reprenons, en efî'et, les calculs du n° 74-5, en adoptant pour u' une solution imaginaire quelconque de l'équation
c'est-à-dire la distance géodésique à une courbe imaginaire. Pre-
nons pour ç' la fonction imaginaire conjuguée de u'. Alors u sera réelle; mais v sera une imaginaire pure. Donc si, dans la formule
(16), on remplace p par {^i, il faudra aussi remplacer cos- par ki^ et l'élément linéaire de la sphère deviendra
du^- di>^
ou, en échangeant u et ç,
Cette forme, où n'entrent que des variables réelles w, ^, /r, correspond à la valeur suivante
cp'(7i) = y/X:^ -f- I
de 'f'(A"). Et, dans ce cas, la formule (3i) nous donne
ds\ = k'-dv'^^{k^-^\)dt\
C'est l'élément linéaire qui convient aux surfaces de révolution définies par les équations
3 I ) p = mk^ ^ ~ I ^^'^ "^ ^ ~ '^^^ ^^'
Pour /?î.= I, on a, cette fois, le paraboloide réel. Il y aurait évidemment intérêt à développer ici les calculs et à obtenir toutes les surfaces applicables sur celte surface du second degré, qui a, en définitive, le même degré de généralité, sinon Je même intérêt, que la sphère. Nous reviendrons plus loin, au Chapitre IX, sur ce sujet; mais, auparavant il convient que nous ntreprenions une élude détaillée de la développée d'une surface et des relations qui existent entre ses deux nappes.
