CHAPITRE VIII

Kappel de dilFérentes propositions relatives aux deux nappes de la développée. — Formules relatives à chacune de ces nappes : élément linéaire, lignes asymptotiques, lignes de courbure, rayons de courbure principaux. — Propositions relatives au contact de deux surfaces; existence de relations entre les éléments du même ordre des deux nappes de la développée. — Recherche de ces relations dans le cas du second ordre. — Paraboloïde des huit droites. — Théorème de M. Ribaucour relatif au cas où les lignes de courbure se correspondent sur les deux nappes de la développée. — Généralisation de certaines propriétés de la développée. — Théorèmes de MM. Beltrami et Laguerre relatifs à des droites entraînées dans le mouvement de déformation d'une surface. — Proposition de M. Ribaucour relative à des courbes situées dans les plans tangents d'une surface donnée.

7o2. Considérons une surface (S), rapportée à ses lignes de courbure. Soient {fig. 74) M un point de cette surface, (T) le

Fig. 7.i

trièdre formé par les tangentes principales M.r, My et la normale M:;. Pour abréger, nous désignerons sous le nom de lignes de première courbure celles qui sont tangentes à M^r; les lignes de seconde courbure seront tangentes à Mjk- l^es deux nappes (S,) et (So) de la développée contiendront respectivement les centres de première et de seconde courbure M, et M2. La normale à

chaque nappe sera parallèle à la tangenre principale correspondante. Convenons, pour abréger, de dire que les lignes de première courbure sont associées à la première nappe et les lignes de seconde courbure associées à la seconde nappe. Alors, sur chacune de ces nappes, les géodésiques (^<) ou (^2) tangentes à la normale de (S) correspondent aux lignes de courbure associées, et les courbes conjuguées (c,) ou (co) de ces géodésiques aux lignes de courbure non associées. Dans la correspondance entre les deux nappes (Si ) et (S2), les géodésiques (^2) ont pour homologues les courbes (ci), et, de même, les géodésiques [g^) correspondent aux courbes (^2). La correspondance est donc telle qu'au système conjugué formé des courbes (ci) et {g\) de (S,) correspond le système conjugué formé des courbes (^2) et (C2) de (So). Cette propriété, comprise dans celle que nous avons signalée au n^ 319, est très essentielle; elle nous permettra de prévoir ou d'expliquer différents résultats.

Ajoutons la remarque suivante. Lorsqu'on se déplace sur la ligne de première courbure, par exemple, deux plans normaux consécutifs à cette ligne sont tangents à la nappe (Si) et ont leurs points de contact sur la géodésique {g^) qui passe en M,. Leur intersection est donc la tangente en M^ à la courbe [c^) qui passe en ce point. Or cette intersection est Vaxe de courbure de la ligne de première courbure pour le point M; elle est, comme on sait, perpendiculaire au plan osculateur en M. Comme, d'autre part, la tangente à {g^) est la normale en M à (S), on voit que :

Langle des deux courbes (c) et (g) qui se croisent en un point de Vune des nappes de la développée est égal à V angle que fait, au point correspondant de (S), le plan osculateur de la ligne de courbure associée avec le plan tangent de (S). La tangente à la courbe (c) est l'axe de courbure de cette ligne de courbure.

Rappelons également que les trajectoires orthogonales des géodésiques {g) sont, sur chaque nappe, les courbes pour lesquelles le rayon de courbure associé demeure constant,