DA>S LE CHAPITRE PRÉCÉDEXT
Klude des coordonnées symétriques dans le cas de la sphère. — Inlerprétation géométrique d'une substitution linéaire effectuée simultanément sur les deux coordonnées. — Formules d'Euler et d'Olinde Rodrigucs relatives à la transformation des coordonnées. — Représentation de la variable imaginaire par un point de la sphère suivant la méthode de Ricmann.
23. D'après les développements précédents, on voit que l'intégration de tout système d'équations linéaires à trois inconnues, admettant une intégrale homogène du second degré, se ramène à celle d'une équation de Riccati, c'est-à-dire à celle du système linéaire le plus général à deux inconnues. 11 nous paraît intéressant de justifier et d'expliquer ce résultat par quelques considérations de Géomé- Irie pure. Pour cela, nous allons faire une étude rapide du système des coordonnées curvilignes or, j>', qui déterminent les points de la sphère de rayon i , et qui sont définies par les formules (9).
Par un calcul élémentaire, ces formules nous conduisent à la relation suivante
qui fait connaître la différentielle de l'arc décrit par le point de coordonnées curvilignes x^j\ On voit que cet arc sera nul quand on se déplacera sur l'une ou l'autre des génératrices rectilignes de la sphère : c'est là un résultat hien connu; mais la formule (i) va nous conduire à d'autres conséquences.
21. Son second membre jouit de la propriété de se reproduire quand on soumet jc et^ à une même substitution linéaire. Posons en effet
INTERPUÉTATION GBOil ÉTRIQ U E. 3c
a, 6, c, rf élanl des constantes; nous trouverons
\ dx dy __ f\ dxi dyx
Il résulte de là que, si Ton considère sur la sphère deux figures décrites, Tune (F) par le point (j;, v), l'autre (Fi) par le point (a?!, Ki),la distance de deux points infiniment voisins quelconques de Tune des figures sera égale à la distance des points correspondants de l'autre ; par conséquent les triangles infiniment petits, qui se correspondent dans les deux figures, ayant leurs trois côtéséganx, seront égaux ou symétriques, et les deux figures seront égales ou symétriques : je dis qu'elles sont égales.
En effet, dans les formules (2), faisons varier «, 6, c, d d'une manière continue de leurs valeurs actuelles aux valeurs suivantes : I , o, o, I . La figure (F|) se déplacera d'une manière continue; et, comme elle est toujours égale ou symétrique à (F), elle demeurera toujours superposable à sa position primitive. Or, pour les valeurs extrêmes de a, 6, c, rf, la substitution (2) se réduit à la suivante :
La figure (F|) est venue coïncider avec (F) et, par conséquent, les deux figures sont égales.
Le second membre de la formule (i) se reproduirait aussi si l'on employait la substitution
ayx-^ b axx-^h
cyi-h d ^ cxi-\- d
Mais il est clair que cette substitution résulte de la composition de la substitution (2), qui remplace toute figure (F) par une figure égale, avec la suivante :
Il suffit de se reporter aux formules (9) [p. 12] pour reconnaître que cette dernière substitution remplace un point de la sphère par le point diamétralement opposé, c'est-à-Klire la figure (F) par une figure symétrique; il en sera donc de même de la substitution plus générale définie par les formules (3).
2o. Les résultats précédents ont été déduits de l'équation (i) qui
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donne la dislance de deux points infiniment voisins. Mais on peut aussi les obtenir par l'emploi de la formule qui exprime, dans le système de coordonnées x^ y^ la distance de deux points quelconques de la sphère.
Soient, en effet, M, M' deux points de coordonnées x^ y\ x\ r' . On aura, en désignant par MM' l'arc de grand cercle qui les réunit,
d'où l'on déduira
Ces formules, que j'ai déjà données avec plusieurs autres en 18-2 (*), peuvent encore s'écrire sous la forme
'V-. ' :.^ t ^jji^ -— = R(.r, r, X ,y\ ^j^- ^ - ^. R(:r, x ,y .yh
K(rt, 6, c, rf) désignant le rapport anharmonique des quantités (i^ 6, c, rf. Il est clair que ces expressions demeurent invariables (|uand on applique aux coordonnées des deux points l'une ou Tautre des substitutions ('a) ou (3). On voit que ces substitutions ne changent pas la distance sphérique de deux points quelconques; elles ne peuvent donc que remplacer une figure (F) par une figure égale ou symétrique, ce qui confirme la proposition déjà obtenue.
H résulte de ce qui précède que, si l'on considère quatre points quelconques M, M', M'^, M'" à la surface de la sphère, le rapport anharmonique des valeurs de la coordonnée x relatives à ces quatre points demeurera constant quand on déplacera d'une manière quelconque la figure invariable formée par ces quatre points ; en d'autres termes, ce rapport anharmonique ne dépend que de la forme (lu quadrilatère. On en connaît diflérentes expressions que je ne m'arrêterai pas à établir. Il nous suffira de savoir qu'il demeure constant quand le quadrilatère se déplace sans se déformer.
(») G. D.vRBOux, Mémoire sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques, p. a 12.
26. D'après cela, revenons au sys»tème (i) du Chapitre précédent et considérons-y a, P, y comme les coordonnées d'un point de la sphère. A chaque solution particulière du système (i) correspondra sur la sphère une certaine courbe décrite par ce point. Il résulte des propositions établies tout d'abord (n** 14) que, si deux points de la sphère représentent deux solutions particulières différentes du système, ils demeurent toujours à une distance invariable l'un de l'autre; donc, si quatre points décrivent dans leur mouvement les courbes qui correspondent à quatre solutions particulières différentes, ils formeront une figure invariable, et le rapport anharmonique des quatre valeurs particulières de x qui correspondent à ces quatre points sera constant; c'est dire que x^ considéré comme fonction de ^, devra satisfaire à une équation de Riccati (n® 19).
Il nous reste à expliquer pourquoi la seconde coordonnée y satisfait à la même équation que la première. Pour cela, il suffit de remarquer que, si un point M de la sphère donne une solution du système (i), il en sera de même du point diamétralement opposé, qui correspond à des valeurs de a, p, y changées de signe. Or on passe d'un de ces points à l'autre en échangeant x eiy] ces coordonnées doivent donc satisfaire à la même équation différentielle.
27. Les résultats analytiques du Chapitre précédent sont ainsi complètement expliqués. Nous ne poursuivrons pas maintenant l'étude complète du système de coordonnées x^ y, et nous nous contenterons d'indiquer comment on détermine le déplacement correspondant à une substitution linéaire effectuée simultanément sur les deux coordonnées.
Reprenons les formules
qui donnent les coordonnées rectangulaires a, p, y en fonction de x^y. Si l'on effectue sur x et sur^ la substitution définie par les formules
'^ p^x-^q "^ py\-^q
et si l'on désigne par a,, ^i, yi les coordonnées rectangulaires
qui correspondent à x^^ ji, ou trouvera, après un calcul qui
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n'oflrc aucune difficullë,
Iai = aa -f- a' p -I- «*y»
Yl = C3t -f- c',3 -r- r'v.
a^ bj Cy ... ayant les valeurs suivantes
7' -h m' — /i' — p* .m'-,- H' — />'— 7' pq — w/'
nq — mp mp ~\- nq mq -^ np a- — j^ , /.---t j^ , r- jj ,
OÙ B est le déterminant de la substitution
B = mq — np.
Il est aisé de reconnaître que ces neuf quantités sont les coefficients d'une substitution orthogonale, de déterminant i, ce qui démontre une fois de plus le théorème établi plus haut (n° 24).
Si l'on remplace w, /?,/?, q par les expressions suivantes
/?» = — p -4- iv, n = — (A -i- /À,
7=: — p — /v, p--^ IxH-iX,
en posant, pour abréger,
(10) B = X«-4-aî4-vî-i-p»,
on trouve
IB a = p' -f- ).5 — |x» — V*, B 6 = ji ( «jiX -J- pv ), B c = 'A ( Xv — pp.),
Ba'= 9.(|xX— vp), B6' = pJ-}-|i.»~X«-- vî, Bc' rr. ^({xv -j- Xp),
Ba''=- 2(vX -h ;xp), B//= 5i( |xv — Xp), Bc'r:^ p>-+- VΗ X>— JX*.
Ce sont, sous forme homogène, les expressions bien connues des neuf cosinus, dues à Euler et à Olinde Rodrigues.
28. Puisque les formules (7) défmissent un déplacement réel ou imaginaire, c'est-à-dire une rotation finie, proposons-nous de déterminer l'axe et la grandeur de cette rotation. On obtient ces deux éléments de la manière suivante :
Les points où l'axe de rotation vient rencontrer la sphère de-
meurent immobiles dans le mouvement. Ils doivent donc satisfaire aux relations
par conséquent x, y seront les racines de Téquation (12) px^-\-{q — m)a7 — n = o,
qui défînit les éléments doubles de la substitution linéaire. Soient x\ y les deux racines, que nous supposerons différentes, de cette équation. Onvoitque le mouvement laissera invariables les quatre points
Les deux premiers sont à distance finie et diamétralement opposés : ce sont les points où l'axe de rotation coupe la sphère. Les deux autres satisfont à la relation x =^, et, par conséquent, d'après les formules (6), ils sont sur le cercle de l'infini. De là résulte cette définition d'un déplacement au point de vue projectif. C'est une transformation homographique de la sphère laissant invariables quatre points dont deux sont à l'infini, et dont les deux autres sont diamétralement opposés. Ces quatre points forment les sommets d'un quadrilatère gauche, entièrement situé sur la sphère.
Quant à la grandeur de la rotation, on la déterminera de la manière suivante. Écrivons les équations (7) sous la forme canonique
X — x' , Xi — y y — x' . Y\ — x' UD T-^-l(— 7> ■- , = f^— r-
Cette forme se conservera évidemment si l'on effectue un déplacement d'ensemble, c'est-à-dire si l'on soumet toutes les variables x^ y^ x' j ... à la même substitution linéaire. Supposons que ce déplacement ait été choisi de telle manière que le point x = x\ y =zy vienne se placer sur la partie positive de l'axe des z; alors x^ deviendra égal à 00 , j^'' à o et les formules (i4) deviendront
(i5) xi = kx, yx = ky
ou, en revenant aux coordonnées rectangulaires et appelant a, p, T» °^<j Po Y» '^^ coordonnées rectiligncs de deux positions correspondantes du même point
g. H- t'Pi , a -4- tp «1 — 1^1 i^ a — t^ ^
Ces formules conviennent évidemment à une rotation autour de
O^, d'un angle 9 défini par l'équation (i6) ei^=k.
On le reconnaît immédiatement en considérant les points du plan
des xy pour lesquels on a
Ainsi la grandeur de la rotation sera déterminée sans ambiguïté par la formule (i6). Quant à la valeur de Ar, elle est donnée, comme on sait, par IVquation
' m — py
ou, si Ton veut l'obtenir sans passer par les valeurs de x', ^, par l'équation
(,8) 'JLtAl' = <"'--9)\
h' tnq — np
Îi9. Le déplacement défini par les formules (7) n'est pas réel, en général; mais les différentes méthodes précédentes permettent d'indiquer à quelles conditions ce déplacement sera réel. En effet, nous avons vu que, si deux points réels ont pour coordonnées or, y et Xi, y\ respectivement, les variables imaginaires x, x^ auront
pour conjuguées > • En changeant donc i en — i dans la
première équation (y) et désignant par mo, a?o,/>o> 7o 'es quantités conjuguées de /n, /?, />, y, on devra avoir
et cette relation, devant avoir lieu toutes les fois que x^ y sont les coordonnées d'un point réel, devra nécessairement être identique à la seconde des formules (7). Gela donne les conditions
qui permettent d'écrire les formules (7) sous la forme
— /IqXi -\- iUq " — /lo^i H- nto
/Wo, rio désignant les imaginaires conjuguées de m et de n.
30. Il est facile de reconnaître que, lorsque, suivant la méthode de Riemann, on représente une variable imaginaire par un point
de la sphère, la quantité que nous désignons par x est Taffixe du point (a, p, y).
En effet, la méthode de Riemann consiste à représenter d^abord la variable s = x'-f- r^ par le point (x',^) dans le plan des xy^ comme Tonl fait Gauss et Cauchy; puis à faire la projection stéréographique de ce plan sur la sphère de rayon i qui a son centre à l'origine, en prenant pour pôle le point de cette sphère situé sur la partie positive de Taxe des z. Si nous désignons par a, p, Y les coordonnées de cette projection stéréographique, un calcul élémentaire nous donne
X = !- = 07 -h ty = 5,
ce qui justifie notre remarque.
3i. Dans la théorie des fonctions et dans différentes recherches de Géométrie, il peut être avantageux de modifier légèrement le système de coordonnées x^ y et de substituer à j' la variable
On a alors pour a, p, y les expressions
{3C -4" 3Ctk f^ , Xfk — 37 XX (i — I •20 ) a = j B = 1 > Y = — »
