J(Jq
ou encore
C désignant la constante arbitraire.
La quadrature qui figure dans ces formules porte sur une fonction réelle, toutes les fois que les rotations/?, q^ r et la solution particulière d'où Ton est parti sont réelles'; car alors Tq, t'j, seroni imaginaires conjuguées, et la fonction sous le signe f^ dans les formules précédentes, sera de la forme «6, 6 étant réelle.
Il est donc démontré que, toutes les fois que Ton connaîtra une solution particulière du s}^stème(i)pour laquelle la constante a^-Hp^ + Y^ sera différente de zéro, la solution générale de ce système s'obtiendra par une simple quadrature.
21. Supposons maintenant que les solutions particulières considérées a, ^, Y satisfassent à la relation
Nous commencerons par remarquer que l'une au moins des quantités a, ^, y ^st imaginaire. On aura donc, en mettant en évidence les parties réelles et les parties imaginaires.
Cela posé, si p^q^r sont des fonctions réelles de /, a', p', ^ et a", P'', y constitueront évidemment deux systèmes différents de solutions réelles du système (i), pour lesquels la somme a- -H^-^-l-Y* sera différente de zéro. L'application des formules (6) fera connaître alors, sans intégration nouvelle, la solution complète du système (i).
Supposons maintenant que /?, q^ r soient des fonctions imaginaires. On pourra poser
el, en introduisant un facteur de proportionnalité p, on aura
(510) a=p(i — a:*), ^ = ip{i-\-T^), *( = ^px.
La substitution de ces valeurs dans le système (1) nous conduit aux deux équations
(21) -r ==— irx -^ ^ — - -h ^ ^^*,
at •! À
\ dp . . .
(0.1) - -7- = ir — ( <7 -h ip)T,
p at '' '
Ainsi, X devra être une solution de l'équation (11). D'ailleurs,
si Ton pose
celte équation prendra la forme
di ^ '^~:^~-^lir--(q-hip)x]l ou, en tenant compte de la formule (22),
On aura donc X et, par conséquent, t par une seule quadrature; donc, dans tous /es cas, la connaissance d\tn seul système de solutions des équations (1) permet d^ obtenir, par une seule quadrature, V intégration complète de ces équations.
Les systèmes particuliers de solutions pour lesquels la somme a- -h P'-j- Y^cst nulle jouent un rôle essentiel dans les importants travaux de M. Hermite sur la rotation d'un corps solide ( * ).
22. Euler, qui a, le premier, étudié le mouvement d'un corps solide, a démontré le résultat précédent par une méthode toute différente. Nous avons vu qu'il a exprimé les neuf cosinus au moyen de trois angles seulement, et nous savons que les rotations/?, q^ r s'expriment en fonction de ces angles et de leurs dérivées par rapport au temps par les formules (6) [p. 5]. Si donc on suppose
(') Hermite, Sur quelques applications des fonctions elliptiques, Paris, Gaulliicr-Villars, i885.
INTÉGRATION OU SYSTÈME LINÉAIRE. '2(j
connues les rotations, ces trois formules constitueront un sjstènic (Inéquations différentielles qui remplacera le système (i) et suffira à déterminer les angles 8, ç, ^. A la vérité, le défaut de symétrie dtces équations ne permet guère de les employer d'une manière générale; cependant on en déduit très simplement la propriété fondamentale du système (i).
En effet, soient a'', b'\ d' les valeurs particulières, supposées connues, de a, p. Y, vérifiant le système (i). Si nous prenons pour axe OZ la droite dont les cosinus directeurs sont d\ b" ^ d' ^ nous aurons alors 8 et ç par les trois dernières formules (2) [p. 3]. Ensuite la dernière des formules (6), ou la seconde des formules (7) [p. 5], nous permettra de déterminer i par une quadrature. Connaissant les trois angles d'Euler, nous aurons trois solutions particulières du système (i) et, par conséquent, aussi la solution générale.
Il est aisé de voir que les quadratures à effectuer dans les deux méthodes se ramènent Tune à Taulre et ne diflèrenl que par des quantités exactement inlégrahles.
io LIVRE I. — CHAP. III.
