CHAPITRE XII

Mclhodc inverse dans laquelle on prend comme point de départ certaines éqoations difTcrentielles linéaires dont on connaît l'intégrale générale. — Surfaces que Ton peut déduire de Téqnation à laquelle satisfait la série hypergéomé-

trique de Gauss. — Surfaces déduites de la forme An(/ — a)* adoptée pour G(/) et H(0- — Surface minima limitée par une ligne brisée plane et une droite parallèle au plan de la ligne brisée. — Problème de Gergonne. — Surfaces déduites de la forme All0*(^ — a) UH^it—b) adoptée pourG(/) et ll(^). — Surface minima limitée par deux polygones fermés situés dans des plans parallèles. — Remarque générale sur les moyens de multiplier le nombre des solutions du problème. — Surface passant par trois droites situées d'une manière quelconque dans Tespace.

296. Le problème proposé ne pouvant être complètement résolu (|uc dans le cas où l'équation linéaire formée au u? 293 est intégrable, ou, du moins, appartient a la classe de celles pour lesquelles on peut suivre la variation de deux intégrales dans toute Tétendue du plan, on est naturellement conduit à une marche inverse de celle qui a été suivie dans les deux Chapitres précédents. Il semble préférable d*étudier directement les équations du second ordre, en très petit nombre, auxquelles on a reconnu la propriété que nous venons de rappeler, c'est-à-dire dont on sait déterminer le groupe, et de chercher ensuite quels sont les contours pour lesquels elles peuvent donner la solution du problème proposé.

Au premier rang de ces équations, il faut placer celle à laquelle satisfait la série hjpergéométrique

Nous avons vu (n® 136) que, si a, jj, y sont réels, le rapport de deux solutions particulières donne la représentation sur la moitié supérieure du plan d'une aire plane ou sphérique, plus ou moins

APPLICATIONS DIVHRSES VK LA MÉTHODE PRÉCÉDENTE. 479

complexe, limitée par trois arcs de cercle. Dans le cas où les trois cercles limites sont orthogonaux à un cercle imaginaire, on peut, en choisissant convenablement deux solutions, obtenir la représentation plane d'une aire sphérique limitée par trois arcs de grand cercle. Ce cas est caractérisé (n° 136) par l'inégalité

à laquelle on peut donner la forme plus simple

(3) X sina:: sin^?: sinC*; — 7.)tz sin( y — S)t: < o.

Toutefois, l'équation à laquelle satisfait la série hypergéomé-

trique ne peut pas être employée sans préparation. Nous savons que,

pour l'équation linéaire dont dépend la solution du problème et

qui a été formée au n" 293, la somme des exposants des deux

intégrales régulières relatives à chaque point critique doit être

un nombre entier si le sommet correspondant est de première

espèce, et la moitié d'un nombre impair dans le cas contraire. Or

les exposants relatifs aux divers points singuliers de l'équation (i)

sont

Pour le point o o, i — y '»

Pour le point i o, y — ^ — ?»

Pour le point oo a, fJ,

et ne satisfont pas, par conséquent, à la condition que nous venons de rappeler.

Mais il suffira de substituer à la fonction 0, qui satisfait à l'équation (i), la fonction plus générale

qui est déterminée également par une équation du second ordre; et l'on reconnaîtra aisément qu'il est possible de déterminer m et v de manière à satisfaire, pour les trois points, à la condition indiquée. Car les trois équations auxquelles on est ainsi conduit

a-i-B— u— vH-2= ,

48o LIVRE III. — Cil A P. XII.

sont toujours compatibles, pourvu que les nombres entiers /i, n\ n" vérifient la relation

qui détermine n^ lorsque n et n! sont connus.

Nous venons de multiplier 6 par des puissances de / et de i — /. On sait que, si ces puissances sont convenablement choisies, on peut trouver trois fonctions qui satisfont à une équation de même forme que l'équation (i), mais où a, ,3, v ont d'autres valeurs. L'une quelconque des quatre équations ainsi obtenues pourrait être choisie et conduirait toujours aux mêmes valeurs de O. Pour ces quatre équations, les quantités i — y* Y — * — ?? ^ — ? ont les mêmes valeurs absolues et ne diffèrent que par le signo; nous supposerons que Ton ait choisi celle pour laquelle les incj^alités suivantes

(Ti) « 7 - a- i > o.

sont vérifiées.

297. Conformément aux résultats du n" 136, on obtiendra Téquation de la surface minima, en prenant pour G et II les valeur» suivantes

\ II ^ — K/ 2 (1 — D * r(a, ?. 7. /),

(^ étant la constante dont la valeur est donnée par la formule (9) dun«268,

et K. désignant une constante arbitraire. Comme on a, d'après une formule connue,

(9) GH~HG^=^' ^- f« (!-/)« ,

APPLICATIONS DIVERSES DE LA MÉTHODE PRECEDENTE. 48l

on déduira de là

= ^/II5 /^TlK^y'^^ '(i-o"^ 'dt.

On voit que, si la portion du contour relative aux valeurs de / comprises entre o et i est une droite, il faudra prendre pour K^ une valeur réelle; sinon, K^ devra être purement imaginaire.

298. La surface que nous venons de déterminer pourra avoir des formes très variées dans le voisinage des sommets du contour. Cherchons d^abord à quelles conditions l'un quelconque de ces sommets sera à distance finie.

Pour le sommet (o), le plus petit des exposants est ' ; pour

que l'intégrale j\\^[t)dt qui lui correspond soit finie, il faut el il suffit que Ton ait