JA

On trouvera de même pour le sommet (i) la condition

et pour le sommet (oo) la condition

après avoir posé

fi-hv — -2 — 23= — 1 — p; ce qui ramène les équations entre a, v, p, a, p, y à la forme

(II) \ ï-«-? = 7--'''

Nous allons d'abord examiner si les trois sommets peuvent être

à distance finie.

Les premiers membres des équations précédentes étant nécessairement positifs ainsi que a, v, p, on aura, dans le cas qui nous

occupe, les inégalités

n -f- n' Al>0, /i>o, — - — <2,

qui n^admettenl que les trois solutions suivantes

Dans les trois solutions, le contour a un seul sommet de première espèce. On peut supposer qu'il corresponde à la valeur oo de t^ et Ton voit ainsi que les deux derniers cas se ramènent au premier.

Les surfaces obtenues sont celles qui ont été étudiées aun° 268 et leurs surfaces adjointes qui sont limitées par une droite et par deux plans.

299. Si l'on veut que la surface ait un secteur inGni, il y aura une infinité de solutions. Il suffira, par exemple, de prendre pour les entiers n et n' des valeurs positives dont la somme soit supérieure à 3. Mais on peut, avec Riemann, ne considérer que les secteurs infinis ayant une forme particulière, et semblables à un hélicoïde ou à la portion de l'alysséide comprise entre deux plans méridiens. Alors il faudra que, comme cela a lieu dans l'hélicoïde à plan directeur, la somme des exposants des deux intégrales régulières relatives au point considéré soit égale à — i ou à i, suivant que la valeur correspondante de t est finie ou infinie. Si nous supposons que le secteur infini correspond à la valeur oc de /, nous trouverons, en exprimant la condition précédente,

ce qui donne

n -t- 7i'= 4- Prenons

nous aurons, d'après les formules (i i),

Si les deux autres sommets du contour doivent être à distance

finie, on aura nécessairement

fA>0, v>o.

On déduit de là et des équations précédentes

^>-T> 7<'-(ï-^~?) et, par suite,

Si l'on prend h=. — i, on obtient le système suivant

si Ton fait A = o, on trouve

I — Y = I — lA, (i4) { Y — a — p = i — V,

Il est inutile de considérer le cas où A = i , qui se ramène au premier par rechange de ^ et de i — /.

Pour le premier cas, correspondant aux formules (i3), les deux sommets à distance finie sont de seconde espèce. La chaîne se compose, soit d'un plan et de deux droites qui coupent le plan et ne se coupent pas, soit d'une droite et de deux plans qui coupent la droite.

Dans le second cas, qui correspond aux formules (i4) et a été considéré par Riemann (n®* 262 et 269), le contour est formé de trois droites dont l'une coupe les deux autres.

Dans l'un et l'autre cas, il y a une infinité de surfaces passant par un contour donné.

En donnant d'autres valeurs aux nombres entiers qui entrent dans les formules (ii), on trouverait d'autres cas dans lesquels le segment déterminé aura deux ou trois secteurs infinis. Mais deux seulement de ces secteurs pourront être hélicoïdaux.; car, si les trois l'étaient, la somme des exposants des six intégrales régulières relatives aux trois points critiques devrait être égale à — i , tandis

que sa valeur est i dans tous les cas. Nous retrouverons plus loin, et par d^autres méthodes, la surface passant par trois droites et pour laquelle les trois segments sont hélicoïdaux.

300. Nous allons maintenant nous donner a priori des valeurs de G{t) et H(^) qui permettront de résoudre le problème proposé dans un cas très étendu.

Prenons

( G(0 = AjJ(«-a)a,

( H(o=nJJ(<-a)^

rt et a, ^ désignant des constantes réelles, A, B des constantes quelconques. Nous supposerons que les exposants soient liés par les relations

par lesquelles on exprime simplement que la valeur oo attribuée à t n'est une valeur critique pour aucune des deux fonctions.

Les seuls points singuliers des intégrales G et H correspondent alors aux valeurs de t telles que a; et pour que, dans le voisinage de ces points singuliers, G et H soient de la forme (26) (n** 291 ), il faudra que Ton ait

l'entier n étant pair si le sommet correspondant du contour est de première espèce, et impair dans le cas contraire. Les relations (16) nous donnent alors

examinons maintenant quel est le contour de la surface obtenue. Le calcul de c nous donne

D'autre part, la valeur de z est déterminée, en chaque point du

contour, par Téquation

(20) ^ =cia2iABjJ(/-a)«.

Supposons que les constantes A, B aient été choisies de telle manière que le produit A^B^ soit réel. Il est évident que le produit

est, ou réel, ou purement imaginaire, dans chacun des intervalles réels séparés parles valeurs singulières. Soit (a^a^+i) un des intervalles pour lesquels ce produit est réel; alors, (-77) étant purement imaginaire, la portion correspondante du contour sera une ligne asymptotique ; d'autre part, ~ étant nulle d'après la formule (20), cette ligne asymptotique sera dans un plan parallèle au plan des xy : ces deux conditions ne peuvent être remplies que par une droite parallèle au plan des xy. Si, au contraire,

nous considérons un des intervalles pour lesquels AB 1 1 (^ — aY

est purement imaginaire, il suffira de passer à la surface adjointe et de répéter le raisonnement précédent; la portion du contour de la surface adjointe relative à l'intervalle considéré sera une droite parallèle au plan des xy. Donc (n° 285) la portion correspondante du contour de la surface proposée sera formée par une courbe plane située dans un plan parallèle à Taxe des z et que la surface coupera normalement.

On obtient donc une solution du problème proposé />ottr le cas oà le contour est formé par des droites, en nombre quelconque, parallèles à un plan fixe (P) et par des plans, également en nombre quelconque, perpendiculaires au mémeplan(P). Il serait aisé d'ailleurs de démontrer que cette solution est la plus générale, au moins si l'on suppose qu'à l'intérieur, ou sur le contour et en dehors des sommets du segment cherché, ne se trouve aucun point où le plan tangent soit parallèle au plan (P) (*).

(') Pour établir a priori la forme admise dans le texte, supposons que le plan (P) soit horizontal et ait été pris pour plan des xy. Alors, sur chaque partie

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