CHAPITRE IV
APPLICATIONS DK LA THÉORIE PRÉCÉDEKTE.
Extension de la Ihéorie de Poinsot. — Déterminalion des muuvcmenls dans lesquels il y a deux relations, données à l'avance, entre les rotations. — Détermination des courbes gauches dont la courbure et la torsion satisfont à une relation donnée. — Étude du cas où cette relation est linéaire. — Courbes à torsion constante.
32. Avant de continuer Texposltion delà théorie générale, nous allons faire quelques applications des propositions qui précèdent. Reprenons le système
auquel satisfont les cosinus des angles que fait une droite fixe avec les axes mobiles. On sait que, lorsqu'un corps solide se meut autour d'un point fixe sans être soumis à l'action d'aucune force, le système précédent est vérifié si l'on substitue à a, p, y les
dérivées ^, ^, ^ d'une fonction /(/?, y, r), homogène et du second degré, qui représente la demi-force vive totale du corps.
Cherchons tous les mouvements jouissant d'une propriété analogue, c'est-à-dire pour lesquels le système (i) admet la solution
Mais ici /(/?, 7, /') ne sera plus assujettie à être homogène et du second degré. Comme a, p, y et les dérivées de/se transforment par la même substitution, quand on effectue un changement des axes mobiles, il est évident que la propriété précédente est indépendante du choix des axes.
En écrivant que le système (i) est vérifié par les valeurs (2) de
APPLICATIONS DE LA THÉORIE PRÉCÉDENTE. Sg
a, p, Y, nous aurons les équations
±(àf\__ àf df dt\dp) " ' ôq ^dr'
dt\ôr) ^ dp ^ ôq'
d'où l'on déduit
On a donc, en intégrant, rquation à laquelle il faut joindre la suivante
qui exprime que a, p, y sont des cosinus directeurs.
En portant les valeurs de /?, q tirées de ces équations (4) et (5) en fonction de r dans l'une des équations (3), on aura le temps par une quadrature. Après avoir obtenu ainsi les expressions de /?, y, /• en fonction du temps, on achèvera, au moyen d'une seule quadrature, l'intégration du système (i) dont on connaît déjà la solution particulière fournie par les équations (2).
La solution est, on le voit, toule pareille à celle que l'on a donnée dans l'étude du mouvement d'un corps solide abandonné à lui-même; mais l'analogie est plus complète encore, si l'on suppose que la fonction / soit homogène. Alors l'équation (4) se réduit à la suivante
f{p^ </»') = const.,
et l'on peut représenter le mouvement en faisant rouler sur un plan fixe la surface invariablement liée aux axes mobiles dont l'équation, par rapport à ces axes, est
Si l'on suppose que /soit entière et du second degré, on retrouve ainsi la solution de Poinsot.
4o LIVRE I. — CHAP. IV.
33. Comme deuxième application, proposons-nous de déterminer les mouvements dans lesquels il y a deux relations données à Tavance
(G) f(j>j Çi r) = o, ?(/?, ^, r) = o,
entre les trois rotations. Nous allons donner d^abord une méthode géométrique indiquant le degré de difficulté de ce problème. Dans la représentation de Poinsot, le mouvement est obtenu si Ton fait rouler le cône (y), lieu de Taxe instantané de rotation dans le corps mobile, sur un cône fixe (C). Or les deux équations précédentes, déterminant le lieu décrit dans le corps par Pextrémité de Taxe instantané, nous font connaître par cela même le cône (y). Quant au cône (C), prenons-le arbitrairement, mais de telle manière que la section de ce cône, par la sphère de rayon i, soit la développée sphérique d'une courbe arbitraire tracée sur cette sphère, ce qui permet d'obtenir Tare de cette section sans aucune quadrature; puis faisons rouler le cône (y) sur le cône (C). Les équations que nous aurons à écrire pour exprimer ce mouvement contiendront évidemment la quadrature qui donne l'arc de la courbe d'intersection du cône (y) par la sphère de rayon i . Pour une position quelconque du cône (y), l'axe instantané sera la génératrice de contact de ce cône avec le cône (C), et les rapports de /?, y, r seront connus. Les équations (6) nous feront donc connaître les grandeurs de ces rotations. En exprimant que le cône (y) roule à chaque instant avec la vitesse ainsi obtenue, on aura à effectuer une nouvelle quadrature qui déterminera le temps.
Ainsi le calcul peut être dirigé de telle manière que l'on n'ait à effectuer que deux quadratures. On arrive à des résultats équivalents parla méthode analytique suivante.
34. Supposons trois des neuf cosinus, a, b. c par exemple, exprimés en fonction des deux variables :r et ^ par les formules (6) [p. 33]. Si a, 6, c sont réels, x el^ seront des imaginaires de la forme
ki
En exprimant que ces deux quantités vérifient l'équation de 22 l lliccali (yf) [p. i^], on a deux relations; elles sont identiques à
APPLICATIONS DE LA THÉORIE PRÉCÉDENTE. 4l
celles que Ton obtient en substituant seulement la valeur de x et égalant les parties réelles et les parties imaginaires
^ = rA H- ?(i -+- A«- A*) -phk, , ai 9.
at '2
Éliminons/?, q^ r entre les équations (6) et (7), nous serons ainsi conduits à une équation de la forme
^{''''"di' di)=''-
Et, si Ton prend pour Ar, par exemple, une fonction arbitraire de A, cette équation fera connaître le temps t par une quadrature. Nous connaissons trois des neuf cosinus, a, 6, c. Une dernière quadrature nous fera connaître les six autres. Les résultats ainsi obtenus coïncident, on le voit, avec ceux que nous a fournis la méthode géométrique.
35. Nous avons vu que, si Ton considère une courbe gauche quelconque et si Ton étudie le mouvement du trièdre formé par la tangente, la normale principale et la binormale en un point, on aura, en supposant que l'origine de ce trièdre décrit l'unité d'arc dans l'unité de temps,
p et T désignant les rayons de courbure et de torsion. Proposonsnous de déterminer toutes les courbes pour lesquelles il y a une relation donnée à l'avance entre la courbure et la torsion
Kvï)"-
Gela reviendra à déterminer le mouvement d'un trièdre dans lequel on a, entre les rotations, les deux relations
En appliquant la méthode générale donnée plus haut, on aura les expressions des neuf cosinus qui déterminent la position du trièdre mobile, en fonction de l'arc de* la courbe qui, ici, est égal
42 LIVRE I. — CIIAP. IV.
au temps ; puis, on déterminera les coordonnées rectangulaires x^ y-j z du point de la courbe, sommet du trièdre, par les formules
d.r dv , dz
ds ds ds
(|ui donneront
X — fa ds^ y — fa ds, z = fa'ds.
36. La méthode que nous venons d'indiquer, et qui est générale, est susceptible de simplifications dans certains cas particuliers.
Supposons, par exemple, que Ton demande les courbes dont la torsion est constante. Les formules de M. Serret
de b de' h' de b"
ds z ds T ' ds T
nous donnent 6, b', b" en fonction des dérivées de c. Si Ton porte ces valeurs dans les relations entre les neuf cosinus
a — b' e" — c' b"^ a = b"e — be", a" -- bc' — cb', on trouve
/ .. dc^ , de^ \
" \ ds ds J
de" „ de \
, , de de \
a —Tic -î- — e -T-
I , ae ae
\ ' ds ds
On aura, par suite, pour les coordonnées rectangulaires d'un point de la courbe, les formules
x T-z f a ds — 1 fie" de — e' de"), y — fa' ds = 'zf{c de" — e'de), z — fa^ds = -zfic' de — e de'),
C, c\ c" étant trois fonctions d'une seule variable assujetties à
l'unique condition
ci f- r'ï -f- c"' = 1 .
Si, par exemple, ou pose
on aura
ridk~kdl
) rhdl-ldh
kdh — h dk
rkdh — hdk
Ces formules coïncident, aux notations près, avec celles que M. J.-A. Serret a données dans la 5*^ édition de V Application de V Analyse à la Géométrie de Monge, p. 566.
37. Une méthode analogue s^applique à la détermination des courbes dont le rayon de première courbure est constant.' Reprenons, en effet, les formules
d.r __ du b
ds ' ds p
On en déduit
— == y/rfa» -4- da'^ H- da^
<ît, par conséquent,
dx -- ap ^da* -t- da'* -h da*.
On aura donc, pour les trois coordonnées d'un point de la
<:ourbe cherchée,
ix — pf a dij y ^ pfa'd<j, z -. pfa'd^y
dv désignant la différentielle de l'arc de la courbe sphérique décrite par le point (a, «', a"). Le centre de courbure aura pour coordonnées les valeurs suivantes
x^ — X -\- b p = p -z- -i- pf a d<jj
(ii; J yi ^y-h- b'p= p-^-^pfa'd^y
,- da' ^ m I
Zi = z -^ b p ~. p -— — H pfa acx,
et il est aisé de vérifier, conformément aux résultats du n® 10,
que le lieu de ce point est aussi une courbe dont la première courhure est constante et égale à celle de la première.
38. Enfin, si l'on cherche les courbes jouissant de la propriété signalée par M. Bertrand (n® 8), et dont les deux courbures sont liées par Téquation
P ^ on posera
Ima -!- ne — % y/m* -h n', ma' -4- ne' = % yj ni^ -\- /i*, ma" -\- ne" = %"^m*-\- /i»,
a, a', a" étant trois fonctions évidemment assujetties à la relation
Les formules de Serret
da b de b
ds p ds z
nous donneront, en tenant compte de la relation (12).
dO y/m^Tl?^'^ = b, /w«H-n«^ = 6', v^'h» h- n« ^" = b".
ds ds ds
Puis on aura
/ na — me = nib'e"— e'b") — m{a*b"— b' a" )
et de même
na' — me' = ( m* -^ n' ) [
na" — me" = (//î*-+- n')( Les relations (i3) et (i5) nous permettent de déterminer a, a\
rfa'X 'ds)-
a"; c, c', c", et nous donnent
m l ad^ , dx'X
^;n« H- /i« \ rf5 ds /
} , m , I ârtU mdx\
. a = ^ OL -\- ni a -j » -7- 1 >
a"— -Jr - I -'
„ / , doL dct!\
/i« \ û^ dsj
Des formules (i4)) nous déduisons d'ailleurs
On aura donc les coordonnées rectangulaires d'un point de la courbe par l'emploi des équations
X = fa ds, y = fa' ds, z = fa" ds, ce qui conduit au résultat définitif
dfj = \/d7L^ -h dn'^ H- di!^,
, X = mf OL d(j -\- nf(oL'd%' — ol' doi"),
y = mf %' d7 -f- nf(% doi' — 7." doi),
z = mfoL' dT ■+• nf{%' dx — a dx').
Suivant que l'on fera m ou ai égal à zéro, on retrouvera les formules (9) ou (10); a, a', ol" sont d'ailleurs, nous l'avons vu, trois fonctions d'une seule variable assujetties à l'unique relation
Les formules précédentes s'établiraient aussi très aisément par l'emploi de la Géométrie.
39. Des trois systèmes (9), (10), (17), le plus simple est le système (9), qui détermine les courbes dont la torsion est constante. Nous allons les appliquer à la recherche de la courbe à torsion constante, dont l'indicatrice sphérique est une conique sphérique. On reconnaîtra aisément que, si par le centre de la sphère de rayon i on mène une parallèle à la binormaie, cette parallèle coupera la sphère en un point dont les coordonnées seront c, c'y c", et qui décrira une ellipse sphérique supplémentaire de l'indicatrice sphérique.
