CHAPITRE V

Helations diiïérentielles entre les deux systèmes de rotations. Détermination du mouvement quand ces rotations sont connues. Application au cas où elles sont fonctions d'une seule variable.

4(). Dans les Chapitres précédents, nous avons vu comment on rattache la théorie des courbes gauches à Tétude du mouvement d'un trièdre. D'autres recherches de Géométrie et, en particulier, celles qui se rapportent à la théorie des surfaces exigent que Ton considère des systèmes mobiles dont les différentes positions dépendent de deux paramètres distincts. Nous allons entre[)rendn' Tétude de tels systèmes; et, pour étudier d'abord les propriétés des rotations, nous commencerons par supposer que le système mobile a un point fixe qui sera, comme précédemment, l'origine à la fois des axes fixes et des axes mobiles.

Alors les neuf cosinus qui déterminent la position des axes mobiles sont des fonctions de deux variables indépendantes, u et v, A partir de chacune de ses positions, le système mobile peut prendre ime Infinité de mouvements, qui correspondent aux différentes relations que l'on peut établir entre u et v. Nous introduirons ici deux systèmes différents de rotations. Les unes, que nous désignerons par/>, <jr, r, se rapportent au déplacement dans lequel u varie seule. Elles donnent naissance au système

qui devra admettre comme solutions particulières les trois cosinus de chaque groupe. Les autres, que nous désignerons par ^,, q^^ /•,, seront relatives au cas où i^ varie seule. Elles donnent également

naissaDce au système

tout semblable au premier. Il résulte immédiatement de là que, si l'on considère un déplacement du système dans lequel u el v sont (les fonctions données de t^ on aura

P, Q, R ayant les valeurs

el, par conséquent, ces trois quantités P, Q, R seront les rotations relatives au mouvement considéré. Les projections sur les axes mobiles du chemin ou de Tare infiniment petit décrit, dans ce mouvement, par un point dont les coordonnées relatives à ces axes seraient x,y^ 5, auront pour valeurs

idx -h {qdu ■+- qxdv)z — {rdu -i- ridv)y, dy-^(rdu -f- ridv)x — (pdu -h pidv)z, dz -H (pdu -^ p\dv)y — (qdu -h qidv)x.

Nous allons d'abord établir certaines équations aux dérivées partielles auxquelles satisfont les six rotations.

Égalons les deux valeurs de \— y- que l'on peut obtenir en dilTé-

rentiant les deux premières équations des systèmes (i)et(2). Nous aurons, après avoir remplacé les dérivées de j3, y par leurs valeurs lirées de ces deux systèmes,

Comme cette relation doit avoir lieu quand on remplace p, y, soit par 6, c, soit par 6', c', soit par 6", c", il faudra que les coefficients de p et de y soient nuls séparément. Nous aurons ainsi deux

équations. En é&:alant de même les deux valeurs de -r— ^ > t— ^ dé- ^ " audv audv

duites des systèmes (i) et (?.), on obtiendra une seule équation

nouvelle et l'on sera conduit au svsièine

<|ui joue un rôle fondamental dans la théorie (*).

41. Réciproquement toutes les fois que l'on connaîtra six quantités /), <7, r, />!, <7i, Ti, satisfaisant aux équations (5), il existera un mouvement dans lequel ces six quantités seront les rotations. Pour établir ce résultat, il suffit évidemment de montrer que Ton peut obtenir des valeurs des neuf cosinus satisfaisant à la fois au\ svstèmes (i) et (2). La démonstration de celte proposition essentielle pourrait se déduire des théorèmes généraux relatifs aux équations aux dérivées partielles; mais on peut aussi l'obtenir directement de la manière suivante.

Je dis d'abord qu'en supposant les équations (5) satisfaites, on pourra déduire de tout système de valeurs (a, p, y) satisfaisant aux équations (i), mais non aux équations (2), une solution nouveHc des équations (i).

Posons en eilet

Nous allons montrer que les quantités A, B, C, qui ne sont pas toutes nulles par hjpothèse, vérifient les équations (1).

(' ) Ces équations ont été obtenues {Annales de l'École Normale, t. IV, r' série, |). 108) par M. Combcscure qui a employé le premier des considérations cincmatiijues dans la démonstration des ftH-muIes relatives à la théorie des surfaces n aux systèmes orthogonaux. Nous les avons données de notre coté, avant la publication du Mémoire de M. Combescure, dans le Cours que nous avons fait t*n i8()G-(>7 comme suppléant de M. J. IJertraud, au Collège de l'rancc.

5o LIVRE I. — CIIAP. V.

On a en eflel

r>?f <>?/ (h Ou ' Ou ' Ou ' t^M

ou, en remplaçant -^> -- par Jours valeurs et tenant compte des rqualions (5),

Ou '

On aura de m<}me, en effectuant des permutations,

Ou ''P-""'^

et, par conséquent, A, B, C donnent bien une solution nouvelle du système (i). Le système (6), étant du premier degré par rapport aux dérivées des fonctions A, B, C, admet, évidemment, une seule solution pour laquelle les valeurs initiales de ces fonctions, correspondantes à une valeur donnée u^ de w, sont des quantités Aq, Bo, Co données à l'avance (*). Et il est encore évident que, si ces valeurs initiales sont nulles, la solution unique qui leur correspond est celle qui est déterminée par les équations

A ^ B rr^ C = o.

iVous pouvons donc énoncer la proposition suivante : Si l'on connaît une solution du sys fente (i) qui, portée dans les équations (a), satisfasse à ces équations quand on donne à u une valeur particulière Wo, elle y satisfera également pour toute i^aleur de «.

(') La proposilioii (jue nous admettrons ici, cl dans les développements qui vont suivre, à savoir que, lorsqu'un système d'éipiations diirércnticlles du premier ordre est résolu par rapport aux dérivées des fonctions inconnues, il admet une seule solution pour laquelle les valeurs initiales des fonctions inconnues sont données, est due, comme on sait, à Cauchy <|ui Ta démontrée dans toute sa généralité. Klle admet, à la vérité, des exceptions, correspondantes aux cas où les déri\écs des fonctions inconnues se présentent, en totalité ou en partie, sous une forme indéterminée ou infinie. .Mais nous n'avons pas, évidemment, à nous préoccuper de ces cas d'exception dans les (|ucstions qui nous occupent.

DÉPLACEMENT A DEUX VARIABLES INDÉPENDANTES. 5l

t2. Ce point étant établi, supposons qu'il s'agisse de trouver les solutions les plus générales communes à la fois aux équations (i) et (?-). Nous allons voir qu'il existe une infinité de valeurs de a, |j, Y satisfaisant à ces équations, et que chaque svstème de solutions <u)mmunes est complètement déterminé si l'on donne les valeurs a©, po'} Yo Je ^î ?î Y <!"* correspondent aux valeurs initiales Uq^ To de // et de (^.

Supposons en effet que l'on remplace u par Uq dans a, j3, ^\ Les solutions cherchées se réduiront a des fondions de i', a', Jî', *'^ Or ces fonctions de i^ sont pleinement délerminées par la condition de satisfaire aux équations (2) où l'on a remplacé u par w„, et d'admettre pour vz=zÇq les valeurs initiales a^, po> Yo* D'autre part, a, p, y sont des fonctions de u qui doivent satisfaire aux équations (1) et se réduire à a', ^', y' pour u z= y^. Elles sont donc, elles aussi, complètement déterminées par cette double condition, et il nous suffira de montrer que ces fonctions a, Jî, v satisfont également au système (2).

Or ce fait est à peu près évident; car, si l'on remplace 1/ par Wq, a, ^, Y se réduisent alors à a', P', y' et satisfont, pour cette valeur particulière de Uj aux équations (a); par conséquent, elles y satisferont pour toutes les valeurs de ii, d'après la proposition que nous venons de démontrer.

43. Il y a donc une infinité de systèmes différents de solutions communes et la solution la plus générale dépend, on le voit, de trois constantes arbitraires. D'autre part, si a, j3, Y> <^iî ?«> ^1 ^<^~ signent deux systèmes différents de solutions, les fonctions

demeureront constantes pour toutes les valeurs de u et de r; la démonstration se fait ici comme dans le cas d'une seule variable. Par suite, si nous prenons trois systèmes différents de solutions rt, 6, c; a', 6', c'; a\ 6'', c'', dont les valeurs initiales soient les neuf cosinus qui déterminent la position d'un trièdre trirectangle (To) par rapport aux axes fixes, on aura, pour toutes les valeurs de u et de v*, des relations telles que les suivantes

ai -h^.-^r'i \, aa' hb' ^ ce ^ o.

32 LIVRE I. — Cil A P. V.

et nos trois svslèmes de solutions définiront, pour toutes les valeurs de // et de r, la position d'un trièdre mobile, trièdre pour lequel les rotations seront précisément les quantités données />,

Ici encore, comme dans le cas d'une seule variable, toutes les solutions que l'on peut obtenir se déduisent de l'une d'elles par un simple changement de coordonnées. On a toujours le même déplacement, mais il est rapporté à des axes différents.

44. Comme application, proposons-nous de rechercher les mouvements dans lesquels les six. rotations dépendent de la seule variable r. Alors les équations (5) deviennent

On déduit de là

dr

dp f)r/ ()r

et par conséquent, h étant une constante,

On voit déjà que les svstèmes (i) et (2) admettent la solution

Nous pourrons prendre cotle solution pour représenter a\ //, r\ et, en nous servant des formules d'Euler, nous aurons

— sinO sincj — -^ > — sinO co?^ — , , cosO = -7 »

<;c (pii montre déjà que 0 et '^ sont des fonctions de la seule \ariable r.

Si nous nous re[>ortons aux formules (7) [p. 5] qui donnent

les rotations, nous avons ici

sin6— ^ = /) sino -f- g cos©, Ou ^ ï ^ •'

O'b sinO ~ = p^ sincp -f- qi coscp

et par conséquent

(>w - "' Oç - h^-r^ '^'

ce qui donne

V désignant une fonction de ç. Réciproquement les formules (G) [p. 5] nous montrent que, si 0, cp ne contiennent pas u ei s\ à ne le contient que linéairement, les six rotations seront bien des fonctions de la seule variable r.

io. Dans l'exemple précédent, les six rotations sont fonctions de l'une des variables indépendantes. Proposons-nous, d'une manière plus générale, de rechercher tous les cas dans lesquels elles sont fonctions d'une quelconque d'entre elles; alors/?, </, r; /?!, qi, rt pourront être regardées comme des fonctions d'une certaine variable 8, qui dépendra d'une manière quelconque des variables u et r.

Si nous désignons par p', q', ... les dérivées de /?, q, ... ])ar rapport à 0, les équations (5) nous donneront

Si, de deux quelconques de ces équations, on pouvait tirer les

valeurs de -—? — ■> ces valeurs seraient de la forme au Ov

OU -f ^ '^ t)V •

et ces deux équations conduiraient pour 6 à une expression de la

Ji LIVKK l. - - CHAI». V.

0 " F( au bv ),

(t cl h élant deux constantes. Kn substituant aux variables ti et V

les suivantes

u\ — €tu — />(', i*i - ai* — bu,

on serait ramené au cas précédent.

11 nous reste donc à examiner seulement le cas où les équations

(8) ne peuvent être résolues par rapport a — > — > et ou Ion a. par conséquent,

On déduit d'abord de ces relations

et. en intégrant.

pi .- qt ... fi — const., P\ '/i "^ ' î - «-«Jn^t.

En multipliant les variables u et r par des constantes convenablement clioisies, on pourra écrire

pi i qi .; /-J — I,

Pi yî-^'l -I,

et, par conséquent, les extrémités (/>, </, r), (/?|, ^/i, /-f) des deux axes de rotation décrivent par rapport aux axes mobiles deux courbes (C), (O) situées sur la sphère de rayon i.

11 résulte des premières équations (9) que ces deux courbes ont pour chaque valeur de 8 leurs tangentes parallèles. Ce sont donc deux courbes parallèles l'une à l'autre ; et si l'on suppose, ce qui est évidemment permis, que Ton ait pris pour 8 Tare de la courbe (C) compté à partir d'une origine fixe, on pourra poser

( Pi '- P cos/i -î- sinA(<7r' rq')j { 10) < (jx — q Qo^h - ^\nli{rp' - - /?/'),

( n = /• COS// -- sin h {pq' - r/p' ;,

// étant un angle conslanl.

46. On peut déduire de ces résultats une représentation géomé- Irique du mouvement. Considérons la courbe décrite dans l'espace ■ par Textrémité de l'un des axes instantanés : par exemple, par le point (/), <7, r). Si Ton désigne par a, è, c, a', ... les neuf cosinus qui déterminent la position du système mobile et par X, Y, Z les coordonnées de ce point relativement aux axes fixes, on aura

X -- iip - - bg -i cr, Y r- a'p b'q ~ c'r, Z — a^p -'.- b'q -H c' t\

Difierentions totalement la première de ces équations et remplaçons rfr/, db^ de par leurs valeurs déduites des formules (i), (2). En substituant ensuite à/?|, </,, r^ leurs valeurs tirées des équations (lo), nous obtiendrons

d\ ^ (ap'-i- bq'-^ cr')d{^-^ v sin/i).

Cette formule nous montre que X, Y, Z dépendent d'une même variable, 8 -|- ^^ sinA. Par conséquent le pôle (X, Y, Z) décrira dans l'espace une courbe (F) tracée sur la sphère de rayon i et qui sera toujours en contact avec la courbe (C). Nous sommes ainsi conduit au résultat suivant :

Considérons sur la sphère de rayon i deux courbes (C) et (F). Si nous déplaçons la courbe (C) en l'assujettissant à rester tangente à la courbe (F), une courbe (C) parallèle à (C) et entraînée dans son mouvement demeurera toujours tangente à une courbe fixe (F') parallèle à (F). Le déplacement des deux courbes (C) et (C) est précisément celui que nous nous proposions de définir. Quand u varie seule, la courbe (C) roule avec une vitesse constante sur (F); et de même, quand v varie seule, (C) roule sur (F'), avec une vitesse qui est aussi constante.

56 LIVRE I. — CIIAP. VI.