DANS LA THÉORIE PRÉCÉDENTE
Héduclion du problème à I*inlcgralion simultanée de deux équations de Riccalî. — Propositions diverses relatives à ces deux é(iualions. — Autre méthode de solution reposant sur la détermination de <7, n'y a".
47. Après avoir reconnu rexistence de.s solutions communes aux systèmes (i) et (a), nous allons indiquer comment on les déterminera. Comme on ne doit considérer, dans la question qui nous occupe, que les solutions pour lesquelles on a
(I) a«-: ?«-YÏ=.i,
on pourra exprimer a, p, y en fonction des variables x^v par les formules (y) [p. 22], et, d'après les résultats obtenus au n" 15, les variables x, y devront, l'une et Tautre, satisfaire aux deux équations
qui sont évidemment compatibles, comme les systèmes d'où on le.a déduites.
48. Nous sommes ainsi amenés à ce problème d'Analyse : étudier l'intégration simultanée de deux équations de la forme
l — - -a - olO's — C7-, (3) .
où r/, /y, c\ ^/|, 6|, c, sont des fondions données de ii et de i'
INTÉGRATION SIMULTANÉE DES SYSTÈMES LINÉAIRES. 5y
En éfiraiant les deu\ valeurs de ciu*on peut déduire do ces
° du ov *■ *
équations, on sera conduit à la relation
I ôc ÔCi \
da ôax l i)b àb\\
— L i 9 j ( 1 ) a jJ
ds^ ()u \ Os? ou
qui est du second dej^ré par rapport à o*.
Si cette relation n'a pas lieu identiquement, les deux équations (3) ne pourront admettre au plus que deux solutions communes. Donc, si Ton demande que le système (3) ait une solution contenant une constante arbitraire, il faudra que les coefficients des différentes puissances de o* dans Téquation précédente soient nuls, ce qui donne
da t)ai , ,
h iba, — 'laOi — o,
()ç Ou
db Obx ' ' ôv Ou
de dci , ,
— — ~ 2COi — 9.t>Ci — o.
Ov Ou
Cciî relations, appliquées aux équations (a), reproduisent les formules (5) du Chapitre précédent; par conséquent nous pourrons les supposer vérifiées dans la suite de notre discussion.
i9. Nous allons montrer réciproquement que, lorsque les coefficients 6r, 6, c; rt|, 6|,C| satisfont aux conditions (4)? les équations proposées (3) admettent une solution commune contcnani une constante arbitraire. Pour cela, désignons par o* une solution quelconque de la première de ces équations, et posons
^ dj ,
(5) 0 — — - «1 — 2fc>l J- - Ci7».
On a, d'ailleurs,
Oi>
a — 'ib<7 — cj' — o.
Ou
Difl<érentions Téquation précédente par rapport à (^, l'équation (5) par rapport à «, et retranchons les deux relations ainsi obtenues. Nous aurons, en tenant compte des identités (4), aussi
'>>^ LrVKE I. — CHAI». VI.
bien f|ue dos deux équations prccédonles,
(()) -- — 'JL(C7 -' 0 )0,
cv qui donne, par rinlégralîon,
(7) Or.^ Ou <»•'"»
Ho désignant la valeur de 8 pour n = Uq, Si donc 0 est nulle pour // = //o, elle le sera pour toutes les valeurs de ti.
Ce point étant établi, faisons ii = Wo dans la seconde des équations (3), et déterminons la fonction o-' de v qui satisfait à cetle équation et se réduit à 0*0 pour r =: To. On aura donc
-- -- «1 -- '2 «1 J - ri 7 *
pour if -- Uq.
Considérons ensuite la première des équations (3), et déterminons la fonction o* qui satisfait à cette équation et se réduit à t* pour iiz=iiQ. D'après ce que nous venons de démontrer, celte fonction o- satisfera aux deux équations ; car la valeur de la fonction que nous avons désignée par 0, relative à la solution ainsi déterminée, est nulle pour u = ;/„, et, par conséquent, elle restera nulle pour toutes les valeurs de u. La fonction o- qui satisfait aux deux équations contient, d'ailleurs, la constante arbitraire Tq.
Toutes les opérations que nous venons d'indiquer sont possibles et n'exigent aucune quadrature quand on sait intégrer séparément cbacune des équations (3 ). Ainsi l'on saura déterminer, sans intégration, la solution commune aux deux équations quand on aura obtenu l'intégrale de cbacune d'elles.
o(). Nous allons maintenant démontrer quel(|uos propositions qui rendent plus facile l'intégration simultanée des équations (3).
Supposons d'abord que l'on connaisse une solution commune de ces deux équations o- r=. jr. Kn posant
