t'jt = rr Cl J" -- r*. — C

z — jr ' ' » <»v

M dt^siçnant la constanle arbitraire qui pfut élre une fonction de *'. La formule qui fait connaître Tinlé^rrale générale de la première équation ne contient, comme nous l'avons annoncé, aucun ^i;:ne de quadrature.

La projH>silion établie en dernier lieu, jointe à celles qui pré- « èdent. nous permet de conclure que. si Ton connaît pourchacune des deux étjualions 1 3 > une solution particulière ne satisfaisant pas à l'autre, il sera passible d*obtenir sans aucune quadrature les >«:»lutiun> général<*s de ces deu\ équations, et /*ar conséquent *nts> i Ir urs so luti* *n s com m unrs .

5L Ntius montrerons, en terminant, comment on peut, en «•'appiivant sur ce dernier résultat, former différentes équations dilTérentielles dont Tinléirration entraînerait celle du svslème(3) >ans quildrature.

Ajoutons les équations « 3'. après les avoir multipliées par <//f ••t <A' re^i^ctivenienl. Nous aurons

dz — <i tin - 'I; tA" — 1 i> Ju - - /': c/»" r — c du — t'j </•' »t- = o.

Envi'iti:;e<»ns maintenant li*s deu\ équations différentielles que nous filmerons en remplaçant t successivement par deu\ fonc-

4 'Jz — «T './:/ — ti (/i- - j (f tfu — /'. f/. z t* i/h — c- </r u? =0.

•rr. - •.: ■.;':< — •; -.'^ - i b •i':; — /*. ./» t. — 0 du — r» </c 'r| =0.

S :[ j :":•Ij^ ..juc ion >.icht" iiil» .:rer cliaiune Je ces deux équa-

INTÉGRATION SIMULTANÉE DES STSTÈBIES LINÉAIRES. Gl

lions diflereutielles. Je dis que l'on saura alors intégrer, sans aucune quadrature, le système (3).

Soit, en effet,

l'intégrale de la première équation (i i) et

celle de la seconde équation. Faisons un changement de variables, et substituons a, ^ à ;/ et i>. On aura, d'après la définition même de a et de p,

Ma) <

/ dii du àv . I , Ou , ài>\ /du '^t' \ „

07* du âi> / , au , àv\ I du i)v \ .

Quant au système (3), il prendra la forme

d^ du dv I , du , dv\ ( du d\'\ ^

5? = " d? -^ "■ ïj? ^ H* ^ ^" *' î>?r ^ V' .5? -^- '^' 5^ j "•

du dv I . du . dv\ / du dç \

Les équations (12) expriment que o*,, 0*2 sont respeclivemenl solutions particulières de la première et de la seconde équation (i3); par conséquent, d'après ce que nous avons démontre, on pourra intégrer complètement le système (i3), équivalent au système (3).

Pour faire une application de cette dernière proposition, revenons au système proposé des équations (2) et prenons

les deux équations (11) deviendront ici

q du ■ qi dy -h /( /• du - ri dv ) — o, q du -h </i rfi' — /\ /• du -^ Tidv) = o.

Ainsi l'intégration de ces deux équations entraînerait celle du système (2). Kous allons expliquer ce résultat en faisant connaître un moyen nouveau, et tout à fait différent de celui que nous venons d'étudier, pour aborder Tinlégration du système des équations (1) et (2) du Chapitre précédent.

(j?. LIVRE I. — CHAI». VI.

ot2. Désignons toujours par a, 6, c, ... les neuf cosinus satisfaisant à CCS équations (i) et (2). On aura

ida - { br - cq ) du ( br^ — cq^ ) d\\ , . , , db — ( cp — ar)du -\- ( cpi - ari ) dv,

f de - iaq - bp) du - ( aqi — bpi ) d{\

et les relations analogues que Ton obtiendrait en accentuant a, />, c. Si Ton joint à la première d'entre elles les équations qui donnent da\ c/a", on obtiendra, en faisant la somme des carrés,

( 1 5 ) du* - - da'* ■+- da'^ — iq du - y 1 dv )* -(rdu — rj di')*.

Or ^/, a\ a", étant liés par Féquatioii

sont les coordonnées d'un point d'une spliére, et il est même évi- <lent que celte sphère est celle qui est décrite par le point situé à la dislance 1 sur l'axe mobile Ox. Si l'on considère, ici encore, cette sphère comme une surface réglée, et si l'on pose

(iG)

l'équation (i 5) pren<lra la forme

' ' ' ) ; V-^'T^ - ^ '^ ^^" - qidi)^ { r du h /'i dv ;«.

Si l'on peut déduire jr, y de cette équation en fonction de u et Je i', on aura r/, a\ o!' et les formules, telles (|ue les suivantes

lin , f)n ,

feront connaître, par des calculs élémentaires, les six cosinus qui restent à déterminer. Vinsi tout se réduit à trouver les valeurs de X et de r, fonctions de u et de r, satisfaisant à l'équation (17). Décomposons le second niembre <le celte équation en deux facteurs que nous égalerons à zéro. Nous aurons ainsi deux équations «lillérenticllcs

i n du -*- (Il dv ■■- i{ r //u -+- ri dv ) — o, ( f/ du f/\ d\' — /( /• ds ;- /•, <A' ) — o.

n -.- in'

ff — in' 1

INTKGRATION SIHILTANKE DKS SYSTEMES LINÉAIRES. 63

Soient (19) 'il u,v) =- a, '}^{ UjV) — 3

les intégrales de ces deux équations. Si nous faisons un cliang^enient de variables et si nous substituons à u et r les fondions a, ,3, le second membre de la formule (17) prendra la forme

A étant une fonction connue de a et de [5, et Téquation à résoudre deviendra

Elle ne peut évidemment admettre que Tune des deux solutions sui\antes

^ B, yr A,

A désignant une fonction de a, et B une fonction de p. X devra donc a\oir pour valeur