A 'IV

et il faudra de cette équation déduire les valeurs de A et de B.

Si, par un procédé bien connu, on élimine les fonctions A et B, on verra que X satisfait a Téquation aux dérivées partielles

f)î|ogX .

qui nous sera utile. Mais, si Ton veut ol)tcnir Texpression de A ou de B, il se présente une difficulté tenant à ce que, d*après une remarque déjà faite, l'expression de \ ne change pas quand on remplace A et B respectivement par

m -■' n \ nt -- n h p-\-q\ p-r- fjU

iHy n^p, q étanl des constantes. Il semble donc que l'expression la plus générale de A pouvant satisfaire à l'équation (21) devra contenir trois constantes et, par consé([uenl, ne pourra être <lé-

♦'•î LIVRE I. — en A P. VI.

hTfninéc que par l'intégration d'une équation différentielle du troisième ordre.

Essayons, en effet, de déterminer A. En prenant la dérivée lo- ^^arithmique par rapport à x des deux membres de TéquatioD (ai), lin (I

Lne nouvelle différentiation par rapport à a permettra d*éliminer li et conduira à Téquation

Nous allons voir que l'intégration de celte équation s'effectue sans difficulté.

Le second membre, étant égal au premier, ne doit pas dépendre

de ,3, et, par conséquent, ne changera pas quand on donnera à 'ï une valeur constante quelconque ^o-

Soit Ao la valeur correspondante de ^; l'équation (24) admettra évi<lemment la solution

A'==Ào, A fAodTLy ou, en tenant compte de l'équalion (>.•>.),

■^ — ïô i

'1 OpQ

ri il suffira de porter cette valeur de A dans l'équation (^3) pour m <léduire la valeur correspondante de B.

o*\. Ainsi, toute la difficulté dans notre nouvelle méthode consiste dans riulégration des deux équations (18); il est clair que, si Ton avait considéré de même t, b'^ b"\ c\ c\ c" au lieu de a, «', a\ on aurait eu à intégrer les deux équations de l'un des groupes suivants :

i p du px dv i( r du r^ d\) — o,

( pdu p\ di' — i^rdti ridv) o,

p du -r J>i di' - i{ q du - q\ d\) ■- o,

p du pi dv — i{ f] du ffx dv) — o.

INTÉGRATION SIMULTANÉE DBS SYSTEMES LINÉAIR'ES. G5

11 y a évidemment le plus grand avantage à avoir le choix libre entre ces trois groupes différents.

54. Nous ajouterons encore une remarque de pure forme relative aux deux équations (3). On peut ramener leur intégration simultanée à celle dhuie seule équation de Riccati, Supposons, en effet, qu'il s'agisse de trouver la solution commune de ces équations qui se réduit à To pour « = //©, ^ = Tq. Posons

n\ {/ désignant des constantes; <t deviendra une fonction de t qui devra satisfaire à l'équation

-r = — u -\- - p = au -H aiv -h libu -h b^v )i -H (cm -h Cit' )j2, at Ou Ov / \ * / 7

où les coefficients sont maintenant des fonctions de t.

Elle sera donc déterminée par cette condition, jointe à celle de se réduire à Tq pour ^ = o. Supposons qu'on ait déterminé cette fonction .

Il suffit d'y faire ^ = i et de remplacer u\ v' respectivement par u — Wo, ^ — i'o pour obtenir la solution cherchée.

En tenant compte de cette remarque purement théorique, on peut dire que V intégration simultanée des systèmes (i) et {2) du Chapitre précédent se ramène à celle dUine seule équation de Riccati,

<)0 L I V R F. I. — r II i p. V I i.