CHAPITRE VII

DKS I)EPL.VCE.ME>TS A DEl \ VARIVULKS DANS LE C IS OU LE SYSTEMI'

MOBILE >\v PVS OE POIAT FIXE.

Introduction des six translations. - - Hclations dirTcrcnticlIcs auxquelles eile^^ >utisronl. — Mouvements infiniment i»etits qui se réduisent à des rotations. — Théorème de MM. Sclionemann el Mannlieiin. - Cas particulier où il y a un centre instantané do mtation. — Théorème de M. Hihaûcour.

i)o. Apres avoir Iraiu' le cas où le svslème mobile a un poinl lixe, il nous reste à examiner riivpollièse où le Irièdre (T) si meut d'une manière quelconque dans Tespace : alors il faudra joindre au\ six rotations six quantités nouvelles. Nous désignerons par ;, r,, IJIes composantes de la vitesse de l'origine des axes mobiles relativement à ces axes, quand u varie seule, et par ^|. y,,, Zi les mêmes composantes quand r varie seule. Si Ton désigne par Xo, Yo, Zo les coordonnées de l'origine des axes mobiles par rapport aux axes fixes, on aura

et les équations analogues en \y, Zo« égalons les deux valeurs de

(lue Ton peut déduire de ces formules. Après avoir remplacé

Ou (h' ' * ' *

les dérivées des cosinus par leurs \aleurs, nous obtiendrons une équation qui, devant avoir lieu quand on remplacera a, />, c par les autres systèmes a\ //, r'; (f'\ b"y c\ se décomposera dans les Irois suivantes ( ' ) •

Ox-

(lu

ffl(

Oi'

Ol(

P'^,i—Pi'r, ■- y ;i --(/il

{*) On pouriii compincr avi-r li-> lorniulc^ iiiuilogues données par M. Kirchlioil

06. Réciproquement, lorsque les douze quantités Ç,/?, ... salisferont aux équations (2), en même temps qu'aux équations (5) du Chapitre V, il existera un déplacement dans lequel elles seront les rotations et les translations; car nous savons déjà qu'on pourra déterminer les neuf cosinus; et de plus les équations (i), qui seront compatibles en vertu des équations (2), nous fourniront par des quadratures les coordonnées de l'origine des axes mobiles. Il est inutile de répéter ici que tous les mouvements obtenus se réduisent au fond à un seul, observé par rapport à des axes différents.

Il est évident que, si, au lieu de considérer toutes les positions du svstème mobile qui correspondent aux différentes valeurs de u et de (-, on suppose que // et r soient des fonctions d'un seul paramètre a, les rotations et translations relatives à ce mouvement seront respectivement

(flu f/v du (iv fin dv

j ^ du ^ dv du dv du dv

\ ^chL-^'^'dV ^'^/â-^^'T/i' ^di ^'Toi'

et les projections sur les axes niobiles de l'élément de courbe décrit par un point ([uelconque M dont les coordonnées soni Xyj,, z par rapport au\ axes mobiles seront

/ dx \ du çi ^r {q du tji dv) z — ( /• du ;- /j dv ) )',

( 4 ) < dy -y- Tj du - T,i d%' -\- { r du -{- r^ dv)x — {p du -+- p^ dv) z,

( dz -^ ^ du - • 1^1 dv -f (p du -!- pi dv)y ■ -{q du q^dv )x.

En d'autres termes, si a était le temps, on aurait les composantes de la. vitesse par rapport aux axes mobiles, en divisant les trois expressions précédentes par doL, Nous ferons souvent usage de celte remarque, qui dispense de beaucoup de calculs et permet délaisser de côté tout ce qui concerne les axes fixes.

En terminant ici ces notions préliminaires sur le mouvement, nous nous contenterons de remarquer que la méthode suivie s'applique sans modification au cas où la position du svstème mobile dépendrait de trois ou même d'un plus grand nonibre de paramètres.

dans la quatrième cl la cin(|uiciiic Lcroii dc> Vorlesungen iiOer Matlicmatisclic Physik, i«7(i.

68 LIVRE I. — Cil A P. vii.

37. Nous allons faire usage des résultais précédents pour démontrer un théorème important relatif aux déplacements à deux variables ( *).

Si l'on considère le système mobile dans une position déterminée, il peut s'en écarter d'une infinité de manières ; les rotations et les translations correspondantes au mouvement le plus général qu'il puisse prendre sont données par le Tableau (3). Cherchons si l'un des mouvements infiniment petits que l'on obtient ainsi peut se réduire à une simple rotation.

Il faudra pour cela que l'on ait (n" 3)

\ (pdu-\-ptdv){^du-^^idv)

j -^{q du-^ qi dv)(iri du -h t)| dç)-i-{r du - - ri dv)(li du -+- Çi <fr) = o.

Cette équation fournit deux valeurs, en général différentes, de

-y-' Il y awra donc, en général, deux mouvements différents, réels

ou imaginaires, qui se réduiront à une rotation. L'axe de rotation correspondant à chacun de ces mouvements sera défini [)ar les équations

I^du-¥ ^i dv-h (q du -4- qi dv) z — { r du -\- r^ dv)y ~ o, Y) du -T- r^x dv -\- (r du-^ Ti ds^)x — (/> du-^,- pi dv)z = o, X^du-r- Xt\d\^ -{- {p du -r- pxdv)y — (q du -h qidç)x = Oj

où l'on remplacera -7- par la racine de l'équation (5) correspondante au mouvement considéré.

Le résultat précédent a une conséquence importante, qu'il serait aisé de vérifier par un calcul direct. Puisque deux des mouvements se réduisent à des rotations autour de deux droites, que nous appellerons D, A, la normale à la surface décrite par un point quelconque du système in^^ariable devra rencontrer chacune de ces droites;

(*) Ce Ihcorèmc u été éooncé en i86(3, dans le Journal de Liouville (a* série, l. \I), par M. Mannheiin, qui en a fuit depuis Tobjel d'une étude approfondie. On ignorait) à cette époque, qu'il avait été donné, onze ans auparavant, par M. Scliunemann, dans un article présenté par Steiner à rAcadémie de Berlin {Monatsbenchtc, i8j5). C'est M. Geiscr qui, en 1880, a appelé l'attention sur le travail de M. SchOncinunn et Ta fait réimprimer dans le Journal de Crelle, t. XC, p. 39 à '|S.

car celte normale, étant perpendiculaire à tous les déplacements du point considéré, l'est en particulier à ceux que prend le point dans les rotations, et par conséquent elle rencontre nécessairement les axes de ces rotations.

58. L'équation (5) est du second degré par rapport à --r-\ elle

pourra donc avoir ses racines imaginaires, et alors les deux mouvements qui se réduisent à des rotations seront certainement imaginaires; elle pourra aussi avoir ses racines égales. Nous ne discuterons pas tous les cas qui peuvent se présenter; mais nous étudierons les déplacements pour lesquels on sait a priori qu'il existe deux déplacements se réduisant à des rotations autour de deux droites distinctes et concourantes. En' se plaçant dans cette hypothèse, M. Ribaucour a obtenu un élégant théorème (*) que nous allons démontrer.

Il est aisé de reconnaître que, dans le cas qui nous occupe, Téqua-

tion (5) doit être une identité. Désignons en effet par -i-> tc- les

deux valeurs de -r- relatives aux rotations considérées: on aura

nécessairement

{pciu -^ pidv){\du -\-\\dv)-ir . . .— Oj

Les axes de ces rotations sont définis par les formules (6). La condition pour que ces axes se coupent s'écrit de la manière très symétrique

(pdu -\-pidv){^ou -4- ^iOv)-\- {pou -i-piùv)(^du -+- ^idv) -h . . . = o.

Les trois équations que nous venons d'obtenir peuvent se ramener au type suivant :

I A du^-- 1 B du dv ■+- G dv^ = o, (7) J \ou^-^ iBoutjç -i- Coç^ =- i),

i Aduou -r- B(durj{-\- (idifr;u ) -7- Cdvùi= Of ^

or -i- CldvrjU

(') RiBACCOL'R, Sur la déformation des surfaces {Comptes rendus, t. L\\, p. 33o).

*\ i \. B. C ont foar ^aî-ur-

>î Ion f;//n*iJêr^ le* Iroi* équaîîon-* j comme détermînani les încoonries A. B. C lenr déterminant s^ra <///o** — <A*?m ', el. par h%j>olhê^, il n*: *^ni pas nul. On aura donc

t'I. par conséquent, l'équation j sera i«J*?ntiquement satisfaite. On arrive au\ mêmes conclu-^ions |iar un raisonnement beaucoup plus simple. Si les deu\ droite-^ D. A se coupent. leur point d'inter-^eclion aura une \stesse nulle d'ins tous les déplacements. On de%ra donc avoir, si l'on désl;rne par x . r', z' les coordonnées de ce point relativement au\ a\es mobiles.

t >* » • T — rj-' — pz — o, T.i - ry^T — piZ = o,

f'I il n'e<*t pas difficile de déduire de là les équations

Mais voici la conséquence qui constitue le théorème de M. Ribaucour.

Sup[>osons que. pour toutes les valeurs de a et de r, il v ait des valeurs de jr',>''. ^'satisfaisant aux équations i 8 ». Le point (x',1'', z'), considéré comme appartenant uu svstème mobile, décrira une surface (5^ que nous regarderons comme faisant partie de ce svstème. Si Ton rapporte le même point aux axes fixes, il décrira une surface (S;. Donnons à w el à i* des accroissements du, rfr; le point se déplacera sur la surface (S ) et décrira un arc infiniment petit dont les projections sur les axes mobiles, données par les formules ( \), seront, en lenant compte des équations {S)^

dx', (ty\ dz'.

Or ce sont là les projections sur les mêmes axes du chemin décrit par le point considéré sur la >urface i^s ), Ces deux chemins avant toujours même direction et niéine t;randcur, on voit que les deux

surfaces (s) et (S), non seulement sont tangentes, mais encore roulent l'une sur l'autre, de telle manière que les chemins parcourus par le point de contact, sur les deux surfaces, aient toujours la même longueur et la même direction.

En d'autres termes, les deux surfaces se correspondent point par point, de telle manière que deux courbes correspondantes aient la même longueur. On dit alors qu'elles sont applicables Tune sur l'autre.

o9. Nous pouvons ajouter les propriétés suivantes : Tirons des équations (8) les valeurs de $, . . ., Ç,, ... et portons-les dans les équations (2). Après un calcul facile, nous obtiendrons les relations

ày'

Oz' oy

ôx' ' 0.

dz'

^ Ov

f)x' Oz' '•» Ou -" ^» Ou

ôx'

"J ov

Oy' Oz' ' ou 'Ou

qui conduisent à une conséquence importante. Multiplions-les respectivement par -— > — > -^ et aioutons-les. Nous aurons

i i lia tlii lia **

Oz Ou

Ox' Ov

Oz' Ov

On pourra donc poser, A et ji-i étant deux fonctions convenablement choisies,

' Ox' . Or'

Pi—— 'M- :- A-— ,

'^ ' Ou Ov

Oy' . Oy' '^ ' ' Ou ov

Oz' . Oz' ri ^~- \xi - -f- À — .

On aurait de même

âx'

/'^ ^-^ttz^-î^tïï;

Ofi

0,1 les équations analogues en r/j i\ Si l'on substitue d'ailleurs

les valeurs des rotatiops dans les équations (9), on obtient la condition complémentaire

(II) Xi=->^,

en sorte que l'on a, pour/?, y, r, les valeurs suivantes

^ ^ ^ Ou ^ Oi'

. i)z' Oz'

Ou ' Ov

n\ \ qui, jointes aux équations (10), remplacent les formules (\) '^X et (9). \

60. L'interprétation géométri(|ue des équations (10) et (12) est évidente. Les dérivées de jc', y', z' par rapport à u et par rapport à (' étant proportionnelles aux cosinus directeurs de deux tangentes à la surface lieu du centre instantané, les deux rotations dont les composantes sont/?, </, r et/?<, ^i, ri sont dans le plan tangent à cette surface. Il en sera de même évidemment de la rotation qui correspond à une variation simultanée quelconque de u et de i^; cela résulte des formules (3) qui donnent les composantes de cette rotation. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

S'il arrive, dans chaque position du système mobile, que deux des mouvements infiniment petits, par lesquels on amène le système dans une position infiniment voisine, se réduisent à deux rotations autour d'axes concourant en un certain point, tout autre mouvement infiniment petit du système se réduira aune rotation autour d'un axe passant par le même point, que l'on peut appeler centre instantané de rotation. Les deux surfaces lieux du centre instantané, dans le système mobile et dans l'espace, seront applicables l'une sur l'autre; elles seront toujours en contact, de telle manière que tout mouvement du système mobile se réduira au roulement de l'une des surfaces sur l'autre, l'axe instantané de la' rotation passant à chaque instant par le point de contact des deux surfaces et se trouvant dans leur plan tangent commun.

Il nous reste à donner l'interprétation géométrique de l'équation (i 1). Elle exprime; on le reconnaîtra aisément, que la relation

entre la direclion de la courbe suivie par le pôle instantané et celle de l'axe de rotation correspondant est réciproque; c'est-à-dire que, si, après avoir considéré un déplacement infiniment petit pour lequel l'axe de la rotation instantanée a une certaine direction, on envisage le déplacement dans lequel cette direction devient celle de la roule suivie par le centre instantané, l'axe de rotation dans ce nouveau déplacement aura même direction que la route du centre dans le premier. On pourra ici constituer une théorie toute semblable à celle des tangentes conjuguées et de l'indicatrice de Dupin ; on trouvera également deux séries de lignes, analogues aux lignes asymptotiques, qui sont caractérisées par cette propriété que, lorsque le roulement des deux surfaces l'une sur l'autre s'effectue de telle manière que le centre instantané décrive l'une de ces courbes, la rotation esta chaque instant dirigée suivant la tangente à la courbe. Par conséquent, les deux courbes correspondantes qui sont alors les routes du centre sur les deux surfaces ont, à chaque instant, même courbure et même plan osculateur. Nous laisserons au lecteur le soin de développer ces indications.

61. Réciproquement, toutes les fois que l'on connaîtra deux surfaces (S), (5), applicables l'une sur l'autre, si l'on place la surface (s) de telle manière que l'un de ses points coïncide avec le point homologue de (S) et que les courbes homologues des deux surfaces qui passent en ce point y soient tangentes, toutes les positions que l'on obtiendra ainsi pour la surface (s) dépendront de deux paramètres et le déplacement à deux variables défini par ces diverses positions jouira de toutes les propriétés que nous venons de signaler.

Considérons, par exemple, toutes les surfaces (s) symétriques de (S) par rapport à ses plans tangents; elles constituent évidemment toutes les positions d'une surface (s) roulant sur (S). On pourra appliquer à ce mouvement toutes les propositions précédentes. Les surfaces trajectoires des différents points du système mobile sont homothétiques aux podaires des différents points de l'espace par rapport à (S), le rapport d'homothétie étant 2.

7i I.IVRK I. -- Cil \P. VIII.