CHAPITRE YIII

pr.F.MiknFs \OTio>s sir lks r.ooRno>\i':ES ctryilioxes.

Surface «le rc\«»liilî<»ii. — M^s-iri*!*». — Siirfar*» pMMhlo^phrriiiuc. — Syslcmcs isollH^rnic*. — Siirfa<*«*'< n.'sl».*»''^. — îMirfHr»'** tlT-vrluppaMes. — Dét*>rmination de toutO'H les <>iirfai'«^< appliral)i<><^ ^ur le plan par la int'lhiHle de M. O. Bonnet.

f)2. Dans le» prcMiiier Chapitre nous avons reconnu que Ton pouvait rallacher la théorie des courbes gauches à Téludc du mouvement d'un trièdre; de même les propositions relatives aux déplacements à deux variables trouvent une application importante «lans la théorie des surfaces. Mais, avant de développer celle applîration, nous donnerons des notions étendues sur les systèmes de coordonnées ctirvilignes que Gaiiss a, le premier, employés d'une manière systématique, dans le mémoire fondamental Disquisitiones générales circa superficies cur\as^ publié en 1828 dans le l. V! i\(^^ Nouveaux Mémoires de la Société de GœUinsue,

Il y a, comme on sait, deux moyens de définir une surface. On peut la déterminer par son équation, c'est-à-dire parla relation qui existe entre les coordonnées de Tun quelconque de ses points: mais on peut aussi supposer que ces trois coordonnées aient été «exprimées au moven <le deux yari.ibles indépendantes que nous appellerons u el r. Cette seconde manière de définir la surface est même plus générale que la première: car, si Ton prend pour w et e deux des trois coordonnées rectangulaires, l'expression de la troisième sera j)récisément IVquation de la surface résolue par rapport à celle coordonnée.

Un svsième de coordonnées curvilij^nes peut être représenté géométriqiiemenl. il suffît d<» tracer sur la surface les deux familles de courbes, lieux d(»s points pour l<»squrls Tune ou Taulre des variables u. i' demeure constante. Mais il importe de remarquer que le système de coordonnées n'est pas comjdètement défini, si Ton donne sj'ulemenl les deux liunilles «le courbes coordonnées. On

pourra évîdeinmenl, sans changer ces courbes, remplacer u et v par les variables U\^ t'i, qui seront des fonctions quelconques des premières

C'est une remarque dont on fait souvent usage et qui permel quelquefois de grandes simplifications.

63. La méthode de Gauss repose essentiellement sur l'expression de l'arc d'une courbe quelconque I racée sur la surface.

Supposons les coordonnées rectangulaires x^y^ z d'un point de la surface exprimées en fonction des deux variables ii el i'. L'expression d'un arc de courbe tracé sur la surface sera donnée pai' la formule

( i) ds^ : K du^ '}.¥ du dv -^ G</t^»,

oii Ton a

-, Ox f)^ ()y ()y t)z f)z Ou ov Ou ()v Oti Ov

VA'/ \0s^

Nous appellerons, pour abréger, ds l'élément linéaire. Nous \v mettrons aussi sous la forme

( 3) ds^ - A» du'^ -: 2 AC cos a du dv - - C^ dv^ ;

et l'on aura, par conséquent,

(4) A . v'K' C -- v^'d, cosa =

y/Ev/G

Les formules (9.) montrent que \du est l'arc de la courbe

i' = const., (Zdv Tare de la courbe // ^^ const. ; enfin a est l'angh*

sous lequel se coupent ces deux courbes au point considéré. On

aura donc

toutes les fois que l'on emploiera des coordonnées curvilignes rectangulaires. Il résulte également des formules (2) que l'élément

superficiel de la surface aura pour expression

AG sin rtdudv = /ÊG — F* du dv.

Avant d'aller plus loin, nous allons donner quelques exemples de ce mode de représentation.

6-i. Considérons d'abord les surfaces de révolution, et supposons <[ue l'on ait pris pour axe des z l'axe de la surface. Si l'on appelle r la distance d'un point du méridien à l'axe, l'équation de la

surface sera

Ar).

Introduisons Tangle r que fait, avec le plan des xz, le méridien passant [)ar le point considéré 5 nous aurons, pour les coordonnées X, V, les expressions

el de là nous déduirons, pour l'élément linéaire, la formule (5) ds*=:drHi -h/») -^ /'VA*.

Ici les courbes /' = const. sont les parallèles ; les courbes i' = const. sont les méridiens. Si l'on pose

dr\/i~-~f'^ ^dii,

r deviendra une fonction de u, et l'équation (5) prendra la forint» ( () ) ds^ --=du^-^o{u ) dv'*'.

La signification de u est évidente : c'est Tare du méridien compté à partir d'un parallèle fixe.

On peut mettre cette expression de Télément sous une forme un peu différente. Posons

. du , -dr

■ 2 -- - — dui -- - -N- - '

^ '-^('0 de\iendra une fonction F(^/|) de ^/i, et l'équation (G) nou>

<lonnera

ds^ = F{ui){du\--dv^),