Faisons d'abord

ce qui donnera les surfaces de révolution applicables sur la sphère.

Les formules (8) deviendront ici

X = asinMCOs-,

y = asinusm- 7

z = f^i — a*cos*M du.

Supposons d'abord a^<C^i] u pourra prendre toutes les valeurs possibles sans que l'expression de z cesse d'être réelle. La portion OCA du méridien qui correspond à toutes les valeurs de u comprises entre o et it aura la forme indiquée {fig. 4)-

Fig. 4.

Les angles que fait en O et en A le méridien avec l'axe sont finis et ne deviennent droits que lorsque a est égal à i. Alors le méridien devient un demi-cercle et il engendre la sphère.

Les variables u et v^ qui déterminent un point à la surface de la sphère, ont une signification très simple ; elles sont la colatitude et la longitude de ce point. D'après cette remarque, nous pouvons déterminer aisément les limites et la forme de la portion de sphère qui est exactement applicable sur toute la surface engendrée par la révolution complète de la branche OCA du méridien.

En effet, les formules (9) relatives à une valeur quelconque de a nous montrent que Tangle V\ fait par le méridien qui passe au point ({^, (^) de la surface avec un méridien fixe a pour valeur

Par conséquent, lorsque v^ aura varié de o à aie, v aura* crû de laiz. Ainsi la surface engendrée par la révolution complète de Tare ACO est applicable sur le fuseau de la sphère compris entre deux plans méridiens faisant Tangle ^atz. On voit que, pour des valeurs très petites de a, ce fuseau deviendra infiniment étroit.

Si à^ est supérieur à l'unité, le méridien change complètement de forme, car u ne peut prendre que les valeurs satisfaisant à Tinégalité

Soit \ l'angle aigu défini par la formule

cosXo= -• a

Il faudra faire varier u entre )»o et Tt — X©. Le méridien aura la forme représentée {fig- 3). La surface engendrée par ce méridien

Fig. 5.

sera applicable sur la zone de la sphère comprise entre les deux cercles de colatitude \q et Tt — \q. Mais, de plus, la formule (10) nous montre qu'il suffira de faire tourner le méridien ACB d'un

angle égal à ~ pour obtenir toute la portion de la surface, applicable point par point sur la zone sphérique que nous venons de définir.

SURFACES DÉFINIES PAR DES PROPRIÉTÉS CINÉMATIQUES. gS

Si a grandit, cette zone diminue indéfiniment et se réduit à une bande infiniment étroite longeant Téquateur de la sphère.

La discussion détaillée que nous venons de faire avait pour but de mettre en évidence un fait intéressant. Considérons un morceau, de forme |d^ailleurs quelconque, de la surface de la sphère. Quand la sphère se déforme de manière à coïncider successivement avec les diverses surfaces définies par les formules (9), cette portion de la surface sphérique que nous avons choisie se déplacera et se déformera d'une manière continue en demeurant applicable sur sa position initiale. Mais ce mouvement ne pourra être continué indéfiniment sans qu'il se produise une déchirure; car nous avons vu que, si le paramètre a augmente à partir de i et croît indéfiniment, la seule portion de la sphère qui puisse être appliquée sur les surfaces qui correspondent à ces valeurs croissantes de a se réduit à une zone, d'aire aussi petite qu'on le veut, entourant l'équateur. Par conséquent, si Ton considère une portion finie de la sphère, le mouvement de déformation de cette portion cessera d'être possible dès que a aura atteint une limite supérieure, qui dépend évidemment de la forme de cette portion.

78. Du moins, dans l'exemple que nous venons d'étudier, toutes les surfaces définies par les formules (9), et pour lesquelles a^ est inférieur ou égal à l'unité, jouissent de la propriété de représenter complètement l'élément linéaire, c'est-à-dire elles ont des points réels, correspondants à toutes les valeurs réeUes de u et de V, Il n'en est plus de même dans l'exemple suivant.

Supposons que, dans les formules .générales, on fasse

L'élément linéaire aura pour expression

(11) rf*«= du'^-\-é^^dv^,

et les équations (8) nous donneront ici

(12) a? = ae" cos - » r = ae'*sin-) z = fJ 1 — a' e*** du.

Ces formules définissent des surfaces qui sont toutes égales^ car, si l'on pose

(i3) ae" = sin<p, i» = aç'i,

elles deviennent

, X = sino costal, l . * .

1 ^ = sino sini'i,

r z = coso -+- logtang i>

el ne contiennent plus a. Nous avons donc une seule surface, qui est applicable d'une infinité de manières sur elle-même, et les formules qui réalisent cette application sont

ae'* = c" , V = av

u\ v' désignant les coordonnées du point qui correspond au point (w, v). Ce résultat est d'ailleurs évident, d'après la forme même de l'élément linéaire (i i). Il suit de là, et des propriétés que nous avons signalées plus haut (n° 76) : i** que le méridien ne peut être que la courbe aux tangentes égales ou tractrice; a** que le produit des rayons de courbure principaux est le même en tous les points de la surface. On reconnaît les propriétés de la surface pseudosphérique que nous avons déjà étudiée directement; et, en comparant l'expression de l'élément linéaire à celle qui a été donnée (n°^§}, on voit que le produit des rayons de courbure de la surface est égal à — i .

U y a ici un fait important à signaler. Pour que les valeurs de x, y^ z données par les formules (12) soient réelles, il faut que l'angle ç soit réel, c'est-à-dire que l'on ait

Quelle que soit la valeur donnée du paramètre a, il y aura donc toujours des valeurs suffisamment grandes de 2/, associées à des valeurs quelconques de p, auxquelles ne correspondra aucun point de la surface. Par conséquent, s'il est vrai que la pseudosphère soit applicable sur elle-même d'une infinité de manières, aucune des solutions que l'on choisira^ ne pourra donner une représentation géométrique complète de l'élément linéaire.

79. Les surfaces que nous venons d'étudier se rapprochent par une propriété commune. Elles peuvent être considérées toutes comme engendrées par une courbe invariable de forme qui se meut d'après une loi donnée. Proposons-nous maintenant d'étudier les surfaces les plus générales satisfaisant à cette définition.