SURFACES DEFINIES PAR DES PROPRIÉTÉS CINÉMATIQUES

Considérons une courbe (C) et un système d'axes mobiles invariablemenl lié à la courbe. Supposons que la position delà courbe et des axes mobiles dépende d'un paramètre v qui jouera le rôle du temps, et soient Ç, 0? ^ > Pj ?> '' les translations et les rotations du système mobile. Ces six quantités seront fonctions de if. Désignons par x^y^ z les coordonnées d'un point quelconque M de la courbe par rapport aux axes mobiles; x^ y^ z seront des fonctions données d'un paramètre u.

Si les axes mobiles se déplacent, et que le point M se déplace en même temps d'une manière quelconque sur la courbe, les projections de l'arc infiniment petit décrit par le point seront

( dz H-(;-+-;>7 —qr)dv.

Posons, pour abréger,

dx __ , dy __ , ^^ ^ f

dli^''' da"^' dli~''''

le carré de l'élément linéaire de la surface engendrée parla courbe aura pour expression la somme des carrés des trois projections, c'est-à-dire

ds'^ = {x''- -\-y'^ -i- z'^ ) du^

du dv

80. 11 suffirait d'introduire dans cette formule des hypothèses spéciales, convenablement choisies, pour retrouver tous les résultats précédents.

Supposons, par exemple, que l'on veuille obtenir Télémenl linéaire des surfaces réglées. On prendra pour axe des z du trièdre mobile la génératrice rectiligne de la surface, et l'on fera décrire à l'origine du trièdre une trajectoire orthogonale des génératrices. Cela donne les conditions

el, par suite, la formule (16) se réduira à la suivante : (17) ds^ = du^-h^ [($ -h qu)^-^{r, —pu)^]di>y

Si Ton veut exprimer que la surface est développable, il faudra considérer les projections (i5) de l'arc décrit par un point quelconque de la surface. Elles deviennent ici

( ; -+- ^ a ) ^r, ( T, — pu ) dv^ du.

Le plan tangent au point z =: u aura donc pour équation, par rapport aux axes mobiles,

j^ ^-^ qu

Pour qu'il soit le même en tous les points d'une génératrice, il

faudra que l'on ait

c'est-à-dire que le coefficient de dv^ dans la formule (17) soit un carré parfait. C'est le résultat déjà établi (n® 69).

81. Considérons maintenant le cas nouveau où le mouvement de la courbe mobile (C) se réduit à une translation. Il faut alors, dans la formule (16), faire

p — q = r-=o^ et l'on a, par conséquent,

I ds^=Kx"^-r-y^-^z'^)du'^

On parvient à un résultat identique par la méthode directe suivante. Soient

a:=U, v = Ui, ^ = Ut

les équations qui déterminent la courbe par rapport aux axes mobiles, U, U|, U^ désignant des fonctions d'un même paramètre w. Supposons que les axes fixes aient été choisis parallèles aux axes mobiles, et désignons par V, V|, Va les coordonnées de Torigine des axes mobiles par rapport aux axes fixes; V, Vj, Va seront des fonctions d'un paramètre i'. Les coordonnées d'un