SURFACES DÉFINIES PAR DES PROPRIÉTÉS CINÉM ATIQUES

point quelconque de la surface cherchée, par rapport aux axes Gxes, auront évidemment les expressions suivantes :

Z = Uj-i-Vj.

La symétrie de ces formules nous montre immédiatement que la surface peut être engendrée de deux manières différentes par la translation d'une courbe invariable, et que les courbes coordonnées de chacun des deux systèmes [u) et (if) se déduisent de l'une d'elles par un simple mouvement de translation.

82. On peut encore interpréter les formules (19) de la manière suivante. Considérons les deux courbes définies par les équations

Le lieu des milieux de toutes les cordes qui joignent un point de la première à un point de la seconde est la surface considérée. Cette définition, due à M. Lie, met bien en évidence le double mode de génération de la surface. Il suffit d'associer toutes les cordes passant, soit par un point de la première courbe, soit par un point de la seconde, pour retrouver les deux systèmes de génératrices invariables.

Supposons, pour fixer les idées, que les fonctions U, V soient réelles et que l'on ait pris, pour les paramètres u et p, les arcs des deux courbes

x = y, r = Vi, ^ = V,;

l'élément linéaire de la surface prendra la forme '

dsi=^du^-^dvi-h2{U\'-^V\\\ -^V'iY.^)dudv

Si donc on pose

lOO LIVRE I. — CHAP. IX.

rexpression de l'élément linéaire deviendra

Cette formule met en évidence un système de coordonnées rectangulaires sur la surface, car Télément linéaire est ramené à la forme

(21) 6^5»= AWa«H-G«rf?»,

et même avec la condition

A*-hG*= I.

83. Nous avons à signaler encore une propriété géométrique tout à fait générale des surfaces que nous considérons. Mais, pour lu démontrer, nous devons commencer par rappeler un théorème relatif aux tangentes conjuguées.

Nous dirons que deux familles de lignes tracées sur une surface sont conjuguées lorsque les tangentes aux lignes des deux familles passant en un point quelconque de la surface sont conjuguées (d'après la définition de Dupin). Voici comment on peut exprimer cette relation :

Soient w et p les paramètres des deux familles de courbes, et supposons que l'on connaisse les expressions des coordonnées rectilignes x, y, z d'un point quelconque de la surface en fonction (le u et de v. Si l'on désigne par X, Y, Z les coordonnées courantes, l'équation du plan tangentà la surface au point M(jc,jk, 2) sera

p et q désignant, suivant Tusage, les dérivées de z par rapport à X et à ^. Supposons que l'on se déplace sur la ligne v = const. L'intersection du plan tangent avec sa position infiniment voisine sera définie, d'après la théorie des enveloppes, par l'équation (22) jointe à celle que Ton obtient en la difierentiant par rapport à w, c'est-à-dire,

ôu Ou^ Ou^ " ' ^ Ou ^ Ou

SUBFACES DEFIMES PAR DES PROPRIÉTÉS CINÉM ATIQDE8. 101

OU, en supprimant les termes qui se détruisent,

Pour exprimer que les courbes (u) et (v) sont coujuguées, il faudra écrire que les équations (2a), (28) sont vérifiées quand on

y remplace X — x, Y — ^, Z — z par -r- > -^> -r- • Cela donne les deux équations

\ dv '^ dv ^ Ov \ ou dv du Ov

La première est toujours satisfaite, car elle exprime ce fait évident que la tangente à la courbe u = const. se trouve dans le plan tangent. Quant à la seconde, elle est identique à la suivante

(dx dY\ à^x

ôudv

ou, plus simplement,

dudv

d^x dudv

dW — a T-^ =

dudv

Si Ton remarque maintenant que p et q sont déterminés par les équations

du ^ du

dz ^ dx dy

dv "^ ^ dv ^ dv^

on pourra éliminer/? et q entre les équations (a5) et (26), et Ton sera conduit à Féquation

d^x dudv

dudv

d^z dudv

ày

qui est symétrique par rapport aux trois coordonnées. Cette relation, qui est d'ailleurs nécessaire, est aussi suffisante; car elle exprime qu'il y a des valeurs de p et de gr satisfaisant aux équations

(aS) et (26), et, d'après les formules (26), p et q seront les dérivées de z, considérée comme fonction de x et dey.

84. On peut formuler la condition trouvée sous une forme différente. L'équation (27) est évidemment le résultat de l'éliminalion de A et de B entre les trois équations

â* X , dr dx

— ^1 ^Tr"=<^>

du Oç du dv

^ ^ duàv du dv '

d^z , âz ^ dz

du Oç du dv

Nous obtenons ainsi la proposition suivante :

La condition nécessaire et suffisante pour que les lignes (m) et {v) soient conjuguées est que les expressions des trois coordonnées rectangulaires en fonction de u et de v satisfassent à une même équation linéaire

("9) dUJ.^^dTi'^^di'

où A, B désignent des fonctions quelconques de u et de v.

Celte proposition, sur laquelle nous aurons à revenir pour la compléter et la généraliser, joue un rôle très important dans la théorie des surfaces.

Si nous l'appliquons aux surfaces qui nous occupent, nous voyons immédiatement que les trois coordonnées satisfont à l'équation

el, par conséquent, les deux systèmes de courbes invariables qui engendrent ici la surface sont des lignes conjuguées. Au reste, la Géométrie permet aussi d'obtenir très simplement ce résultat.

Considérons, en effet, les deux familles de courbes {u) et {v). Dans la translation d'une courbe (w), chaque point M de cette courbe décrit une courbe (p). D'autre part, la tangente en M à la courbe {u) conserve, dans la translation, une direction invariable.